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信号处理之插值、抽取与多项滤波

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一、问题背景

插值(Interpolation)与抽取(Decimation)是数字信号处理中采样率转换的核心操作：

• 插值：在信号中插入新样本以提高采样率（$L$倍）
• 抽取：按比例$M$降低采样率（需防混叠）
  多项滤波通过多相分解优化计算效率，实现高效的多速率处理。

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二、数学原理

1. 插值过程

• 数学模型：插值因子$L$，插值后信号为：
  $$x_{\text{up}}[n]=\{\begin{array}{ll}x[n/L],& n/L\in \mathbb{Z}\\ 0,& \text{其他}\end{array}$$
• 低通滤波：消除镜像频率分量，传递函数为$H(z)$

2. 抽取过程

• 数学模型：抽取因子$M$，抽取前需滤波防混叠：
  $$y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[k]\cdot x[nM-k]$$

3. 多相分解（核心）

将滤波器$H(z)$分解为$L$个（插值）或$M$个（抽取）子滤波器：
$$H(z)=\sum _{r=0}^{L-1}{z}^{-r}{E}_r(z^L)$$
其中$E_r(z)$为多相分量，对应不同相位延迟的子滤波器。

4、基本操作

1. 插值与抽取的基本操作

   • 插值（Interpolation）：将信号采样率提高$L$倍，分为两步：

     • 插零：在原始信号$x(n)$的相邻采样点间插入$L-1$个零值，得到$x^{\prime }(m)$。
     • 滤波：通过低通滤波器$h_{\text{int}}(k)$消除镜像频谱，补偿幅度损失。数学表达式为：
       $$y_{\text{int}}(m)=L\cdot \sum _k{x}^{\prime }(k)h_{\text{int}}(m-k)$$
       其中增益因子$L$用于恢复插值后信号的幅度。

   • 抽取（Decimation）：将信号采样率降低$D$倍，分为两步：

     • 抗混叠滤波：通过低通滤波器$h_{\text{dec}}(k)$限制信号带宽，避免混叠。
     • 抽取：保留每$D$个采样点中的一个，输出$y_{\text{dec}}(n)={\sum }_{k}x(k)h_{\text{dec}}(nD-k)$。

2. 多级滤波设计

   • CIC滤波器（级联积分梳状滤波器）：常用于高效抽取，传输函数为：
     $$H_{\text{CIC}}(z)={\left(\frac{1-z^{-D}}{1-z^{-1}}\right)}^L$$
     其中$L$为级数，$D$为抽取因子。CIC无需乘法运算，适合高速处理，但通带衰减较大，需后接补偿滤波器（如CFIR）。

   • 半带滤波器（HB）：适用于2倍抽取/插值，通带截止频率为$\pi /2$，半数系数为零，计算效率高。

3. 频域分析

   • 插值后信号频谱会压缩为原始带宽的$1/L$，并产生$L-1$个镜像，需通过低通滤波器（截止频率$\pi /L$）抑制镜像。
   • 抽取前需将信号带宽限制在$\pi /D$内，否则会导致频谱混叠。

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二、实现方法

1. 插值抽取流程

   • 插值实现步骤：
     1. 插入$L-1$个零值；
     2. 通过低通滤波器平滑信号；
     3. 乘以增益$L$恢复幅度。
   • 抽取实现步骤：
     1. 设计抗混叠滤波器；
     2. 滤波后按因子$D$降采样。

2. 多级滤波优化

   • CIC + CFIR组合：
     • 第一级使用CIC进行粗抽取，降低数据速率；
     • 第二级用CFIR补偿CIC的通带衰减。
   • 多相滤波结构：
     将滤波器分解为$L$个子滤波器，并行处理插零后的信号，大幅减少计算量。

3. 代码示例（CIC滤波器实现）

def cic_filter(input_signal, D, L):# 积分器部分integral = np.cumsum(input_signal)# 梳状滤波器部分delay = np.zeros_like(integral)delay[D:] = integral[:-D]comb = integral - delay# 级联L次output = comb.copy()for _ in range(L-1):output = np.cumsum(output)delay = np.zeros_like(output)delay[D:] = output[:-D]output = output - delayreturn output[::D]  # 抽取

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三、多项滤波实现

1. 插值+滤波的高效结构

• 传统方法：上采样后滤波，计算效率低（含大量零乘）
• 多相优化：
  • 将滤波器分解为$L$个多相分支$E_0(z),E_1(z),...,E_{L-1}(z)$
  • 输入信号直接进入对应分支，并行计算后交替输出
  • 计算量降低为原来的$1/L$

2. 抽取+滤波的高效结构

• 传统方法：先滤波后下采样，计算冗余
• 多相优化：
  • 分解滤波器为$M$个分支$E_0(z),E_1(z),...,E_{M-1}(z)$
  • 输入信号分块后分别通过分支，再下采样合并
  • 计算量降低为原来的$1/M$

3. 插值抽取联合实现

当需要同时进行$L$倍插值和$M$倍抽取时：

• 级联结构：先插值后抽取，但需满足$\gcd (L,M)=1$避免重复采样
• 多相联合优化：直接设计分数倍采样率转换滤波器，避免冗余计算

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四、多项滤波关键公式推导

多相分解表达式

滤波器冲激响应$h[n]$分解为：
$$h[n]=\sum _{r=0}^{L-1}{e}_r[m]\cdot \delta [n-r-mL]$$
其中$e_r[m]=h[r+mL]$，对应第$r$个多相分支。

插值滤波输出

$$y[n]=\sum _{r=0}^{L-1}{e}_r[m]\cdot x\left[\lfloor \frac{n}{L}\rfloor -m\right]$$

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五、多项滤波实现步骤

1. 设计原型低通滤波器：满足插值/抽取的频响要求（如截止频率$\pi /\max (L,M)$）
2. 多相分解：按$L$或$M$分解为子滤波器
3. 并行滤波：输入信号分块送入多相分支
4. 合并输出：插值时交替拼接结果，抽取时下采样合并

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六、多项滤波应用场景

• 软件无线电（SDR）中的采样率转换
• 音频处理（如44.1kHz↔48kHz转换）
• 图像超分辨率与压缩

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七、多项滤波MATLAB示例代码

% 设计插值多相滤波器
L = 4; % 插值因子
h = fir1(60, 1/L); % 原型低通滤波器
poly_phases = reshape(h, L, []); % 多相分解% 输入信号
x = randn(1,100); % 多相插值实现
output = zeros(1, L*length(x));
for i = 1:Loutput(i:L:end) = filter(poly_phases(i,:), 1, x);
end

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总结：插值抽取的多项滤波通过多相分解，将计算复杂度从$O(N)$降至$O(N/L)$或$O(N/M)$，是实时信号处理系统的核心优化技术。附上其学习研究思维导图：