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全连接层和卷积层等效情况举例

在什么情况下，全连接层和卷积层是等效的？

一是当卷积滤波器与感受野大小相当时；二是当卷积滤波器大小为1时。

import torch
print(f"PyTorch version: {torch.__version__}")

PyTorch version: 2.7.0+cpu

1. 全连接层参考

下图展示了一个有4个输入单元和2个输出单元的全连接层示例，它包含了8个权重和2个偏置单元。

# 设置随机种子，保证结果可复现
torch.manual_seed(888)# 定义一个全连接层（线性层），输入特征数为4，输出特征数为2
fc = torch.nn.Linear(4, 2)# 构造一个输入张量，形状为(1, 4)
inputs = torch.tensor([[1., 2., 3., 4.]])# 在不计算梯度的上下文中进行前向传播
with torch.no_grad():out1 = fc(inputs)# 打印输出结果
print(out1)

tensor([[0.2983, 1.4994]])

# Check the weights of the linear layer
fc.weight

Parameter containing:
tensor([[-0.4525,  0.1935, -0.3702,  0.3160],[ 0.2698,  0.2885,  0.2830, -0.0791]], requires_grad=True)

2. 情景1：卷积核大小等于输入大小

假设卷积核大小为$2\times 2$，有一个输入通道、两个输出通道。输入的大小同样是$2\times 2$。

PyTorch中的卷积层默认期望输入为NCHW格式，其中：

• N = 批量大小（batch size）
• C = 通道数（channels）
• H = 高度（height）
• W = 宽度（width）

# 将形状为(1, 4)的inputs张量重塑为(1, 1, 2, 2)，以匹配卷积层的输入格式(N, C, H, W)
reshaped = inputs.reshape(-1, 1, 2, 2)
reshaped

tensor([[[[1., 2.],[3., 4.]]]])

# 定义一个2D卷积层，输入通道数为1，输出通道数为2，卷积核大小为2x2
conv = torch.nn.Conv2d(in_channels=1,      # 输入通道数out_channels=2,     # 输出通道数kernel_size=2       # 卷积核大小为2x2
)# 查看卷积层的权重张量形状
conv.weight.shape      # 形状为 (2, 1, 2, 2)：2个输出通道，每个通道1个输入通道，卷积核2x2

torch.Size([2, 1, 2, 2])

注意：Conv2d中的权重同样是随机初始化的，因此如果要获得完全相同的结果，需要将卷积层中的随机权重用全连接层中的权重进行覆盖。

# 在不计算梯度的上下文中，将全连接层的权重和偏置赋值给卷积层
with torch.no_grad():# 将fc第0个输出单元的权重(1x4)重塑为(1,2,2)，赋值给conv第0个输出通道的卷积核conv.weight[0][0] = fc.weight[0].reshape(1, 2, 2)# 将fc第1个输出单元的权重(1x4)重塑为(1,2,2)，赋值给conv第1个输出通道的卷积核conv.weight[1][0] = fc.weight[1].reshape(1, 2, 2)# 将fc的偏置赋值给conv的偏置conv.bias[0] = fc.bias[0]conv.bias[1] = fc.bias[1]# 用卷积层对输入进行前向传播out2 = conv(reshaped)# 打印卷积层的输出结果
print(out2)

tensor([[[[0.2983]],[[1.4994]]]])

# 比较全连接层输出和卷积层输出是否完全相等（元素级比较）
out1.flatten() == out2.flatten()

tensor([True, True])

3. 情景2：卷积核大小为1

# 将形状为(1, 4)的inputs张量重塑为(1, 4, 1, 1)，以匹配卷积层输入格式(N, C, H, W)
reshaped2 = inputs.reshape(-1, 4, 1, 1)
reshaped2

tensor([[[[1.]],[[2.]],[[3.]],[[4.]]]])

# 定义一个2D卷积层，输入通道数为4，输出通道数为2，卷积核大小为1x1
conv = torch.nn.Conv2d(in_channels=4,      # 输入通道数为4out_channels=2,     # 输出通道数为2kernel_size=1       # 卷积核大小为1x1
)# 查看卷积层的权重张量形状
conv.weight.shape

torch.Size([2, 4, 1, 1])

# 在不计算梯度的上下文中，将全连接层的权重和偏置赋值给卷积层
with torch.no_grad():# 将fc第0个输出单元的权重(1x4)重塑为(4,1,1)，赋值给conv第0个输出通道的卷积核conv.weight[0] = fc.weight[0].reshape(4, 1, 1)# 将fc第1个输出单元的权重(1x4)重塑为(4,1,1)，赋值给conv第1个输出通道的卷积核conv.weight[1] = fc.weight[1].reshape(4, 1, 1)# 将fc的偏置赋值给conv的偏置conv.bias[0] = fc.bias[0]conv.bias[1] = fc.bias[1]# 用卷积层对输入进行前向传播out3 = conv(reshaped2)# 打印卷积层的输出结果
print(out3)

tensor([[[[0.2983]],[[1.4994]]]])

out1.flatten() == out3.flatten()

tensor([True, True])

4. 总结

本文通过具体的PyTorch代码和可视化示例，演示了全连接层（Linear）和卷积层（Conv2d）在两种特殊情况下的等效性：

• 1. 当卷积核大小等于输入特征的空间尺寸时，卷积操作等价于全连接操作。此时，每个卷积核覆盖整个输入区域，权重和偏置可以一一对应映射到全连接层。
• 2. 当卷积核大小为1×1，且输入通道数等于全连接层输入特征数时，卷积层的每个输出通道等价于全连接层的一个输出单元。此时，卷积层的权重和偏置同样可以直接赋值自全连接层，实现完全等价的前向传播结果。

通过实验验证，两种情况下卷积层和全连接层的输出完全一致。这说明在特定结构下，二者可以互相替换。