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目录

题目

什么是异或

为什么异或可以解决

过程

正确写法

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题目

260. 只出现一次的数字 III - 力扣（LeetCode）

什么是异或

异或（XOR）是一种基本的位运算操作，符号通常表示为 ^。它有以下特点：

定义：

• 异或是一种二元运算，对两个位（bit）进行操作

• 当两个位相同时，结果为0

• 当两个位不同时，结果为1

真值表：

• 0 ^ 0 = 0

• 0 ^ 1 = 1

• 1 ^ 0 = 1

• 1 ^ 1 = 0

重要性质：

• 任何数与0异或等于其本身：a ^ 0 = a
• 任何数与自身异或等于0：a ^ a = 0
• 异或满足交换律：a ^ b = b ^ a
• 异或满足结合律：(a ^ b) ^ c = a ^ (b ^ c)
• 自反性：a ^ b ^ b = a（连续异或同一个数两次，等于没有操作）

为什么异或可以解决

异或可以解决这道题的原因基于以下几个关键特性：

异或的基本性质：

• 任何数与0异或等于其本身：a ^ 0 = a

• 任何数与自身异或等于0：a ^ a = 0

• 异或满足交换律和结合律：a ^ b = b ^ a 和 (a ^ b) ^ c = a ^ (b ^ c)

处理重复元素：

• 当数组中的元素出现两次时，两个相同的数异或会得到0

• 例如：[2,3,2,4,3,1,4,7] 异或结果为 2^3^2^4^3^1^4^7 = (2^2)^(3^3)^(4^4)^1^7 = 0^0^0^1^7 = 1^7

• 这样，所有出现两次的数都会"抵消"，只留下出现一次的数

区分两个不同的数：

• 当我们对整个数组异或后，得到的结果 xorResult = a ^ b（a和b是只出现一次的两个数）
• xorResult 中为1的位表示a和b在该位上不同（一个为0，一个为1）
• 我们可以利用这个差异将原数组分成两组，使得：
• a和b被分到不同组
• 相同的数一定在同一组（因为它们在所有位上都相同）

为什么xorResult中的1很重要：

• 如果xorResult的某一位是1，这意味着a和b在这一位上的值不同
• 一个数是0，另一个数是1
• 例如，如果a=5 (101)，b=3 (011)，则xorResult=6 (110)
• 在这个例子中，第1位和第2位都是1，表示a和b在这两位上不同

利用这个差异分组：

• 我们选择xorResult中任意一个为1的位（例如最低位的1）
• 用这个位将原数组分成两组：
• 第一组：该位为1的所有数字
• 第二组：该位为0的所有数字

分组策略的有效性：

• 选择 xorResult 中任意一个为1的位作为分组标准
• 这保证了a和b会被分到不同组（因为它们在这一位上不同）
• 而所有出现两次的数，每个数的两个副本都会被分到同一组
• 这样，每组内部再次进行异或，就变成了找"只出现一次的数字"的简单问题

总结来说，异或运算在这道题中发挥了两个关键作用：

1. 消除所有出现两次的数，让我们专注于只出现一次的数
2. 提供了一种区分两个只出现一次的数的方法，使我们能将问题分解

过程

数组 [1, 2, 1, 3, 2, 5]：

步骤1：计算所有元素的异或结果

xorResult = 1 ^ 2 ^ 1 ^ 3 ^ 2 ^ 5= (1 ^ 1) ^ (2 ^ 2) ^ 3 ^ 5   // 相同的数异或得0= 0 ^ 0 ^ 3 ^ 5               // 任何数与0异或等于其本身= 3 ^ 5= 0011 ^ 0101                 // 转为二进制= 0110                        // 结果为6

步骤2：找到xorResult中最低位的1

xorResult = 0110
-xorResult = 取反后+1 = 1001 + 1 = 1010   // 补码运算
diff = xorResult & (-xorResult) = 0110 & 1010 = 0010   // 结果为2

这表示xorResult的第1位（从右往左，从0开始数）是1，即3和5在这一位上不同。

步骤3：根据这一位将数组分成两组

数组：[1, 2, 1, 3, 2, 5]
转为二进制：[0001, 0010, 0001, 0011, 0010, 0101]

检查每个数的第1位：

1 (0001)：第1位是0，放入第一组
2 (0010)：第1位是1，放入第二组
1 (0001)：第1位是0，放入第一组
3 (0011)：第1位是1，放入第二组
2 (0010)：第1位是1，放入第二组
5 (0101)：第1位是0，放入第一组

两组分别为：

• 第一组（第1位为0）：[1, 1, 5]

• 第二组（第1位为1）：[2, 3, 2]

步骤4：分别对两组进行异或

第一组：1 ^ 1 ^ 5 = (1 ^ 1) ^ 5 = 0 ^ 5 = 5
第二组：2 ^ 3 ^ 2 = (2 ^ 2) ^ 3 = 0 ^ 3 = 3

最终结果：[3, 5]

正确写法

class Solution {
public:vector<int> singleNumber(vector<int>& nums) {//第一步进行整体异或long long xorResult = 0;for(int num : nums){xorResult ^= num;}//第二步进行找到最低位1int diff = xorResult & (-xorResult);//第三步判断最低为是否为1进行分组int x = 0, y =0;for(int num : nums){if(num & diff){x ^= num;}else{y ^= num;}}return {x,y};}
};