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✅ 本质问题：为什么链式法则中 ∂ F ∂ x \frac{\partial F}{\partial x} ∂x∂F 不考虑 z = z ( x , y ) z=z(x,y) z=z(x,y)？
🔍 一、关键是：偏导数的定义是什么？
我们从最根本的定义开始：
∂ F ( x , y , z ) ∂ x : = lim Δ x → 0 F ( x + Δ x , y , z ) − F ( x , y , z ) Δ x \frac{\partial F(x,y,z)}{\partial x} := \lim_{\Delta x \to 0} \frac{F(x + \Delta x, y, z) - F(x, y, z)}{\Delta x} ∂x∂F(x,y,z):=Δx→0limΔxF(x+Δx,y,z)−F(x,y,z)
请注意：在这个极限中，只有 x x x 被改变，其它变量 y y y、 z z z 被固定不动！
🔁 也就是说：
偏导数的定义就要求我们“只看一个变量的变化，其他全部当作常量”——这是“偏”的含义。
🎯 二、链式法则要做什么？
我们有一个复合函数：
F ( x , y , z ( x , y ) ) F(x, y, z(x,y)) F(x,y,z(x,y))
你想求 d F d x \frac{dF}{dx} dxdF，也就是：
“当 x x x 改变时，F 最终怎么变？”
这时：
- x 会 直接影响 F
- x 还会通过影响 z(x,y) → 再影响 F
所以我们必须应用 链式法则：
d F d x = ∂ F ∂ x ⏟ 显式依赖 + ∂ F ∂ z ⋅ ∂ z ∂ x ⏟ 通过 z 的间接依赖 \frac{dF}{dx} = \underbrace{\frac{\partial F}{\partial x}}_{\text{显式依赖}} + \underbrace{\frac{\partial F}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}}_{\text{通过 z 的间接依赖}} dxdF=显式依赖 ∂x∂F+通过 z 的间接依赖 ∂z∂F⋅∂x∂z
✅ 关键点：
∂ F ∂ x \boxed{\frac{\partial F}{\partial x}} ∂x∂F 是指 “在 z 固定的情况下，F 显式依赖 x 的部分”。
- 它是 F 的表达式中 x 单独出现的项造成的影响
- 它不包含由于 z(x,y) 的变化导致的影响（那部分被分给了链式项）
⚠️ 如果你把 z 变化也算进 ∂ F ∂ x \frac{\partial F}{\partial x} ∂x∂F：
那你会重复计算 z 对 F 的贡献，因为这部分 已经通过 ∂ z ∂ x \frac{\partial z}{\partial x} ∂x∂z 乘 ∂ F ∂ z \frac{\partial F}{\partial z} ∂z∂F 考虑进去了！
所以，为了：
- 数学上的逻辑分工（哪个项负责哪部分变化）
- 避免重复计算
- 保持偏导数定义一致性
我们必须要求：
在 ∂ F ∂ x \frac{\partial F}{\partial x} ∂x∂F 中，z 是固定不变的，即使它本质上是 z(x,y)
✅ 图像直观解释（想象空间中的切片）
想象 F ( x , y , z ) F(x, y, z) F(x,y,z) 是一个三维张量：
- 当你求 ∂ F / ∂ x \partial F/\partial x ∂F/∂x，你走在一个“切片”中：x 改变，y、z 固定。
- 当你求全导数 d F d x \frac{dF}{dx} dxdF，你就要考虑：x 改变了，连带引发了 z 的改变，于是你必须考虑另一条“路径”。
链式法则就是在路径空间中加总所有影响的方向分量。