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破解 N 皇后 II：位运算的高效艺术
大家好，我是 Echo_Wish，今天给大家聊聊一类经典算法问题的优化技巧——N 皇后问题，具体是 N 皇后 II 的解法优化。N 皇后问题不仅是算法竞赛中的老牌题目，也是锻炼逻辑思维和算法设计能力的好帮手。在解决这个问题时，递归和回溯通常是首选方法，但当棋盘规模增大时，性能就成了一大瓶颈。而位运算，这个深藏功与名的高手，可以让代码跑得飞快。让我们一起看看，如何利用位运算来提升求解 N 皇后问题的效率。
N 皇后问题回顾
N 皇后问题要求在 N×N 的棋盘上摆放 N 个皇后，使得每个皇后都不能相互攻击。具体来说：
- 任意两个皇后不能在同一行、同一列。
- 任意两个皇后不能在同一斜线上（包括主对角线和副对角线）。
举个例子，4 皇后的一个解是：
. Q . .
. . . Q
Q . . .
. . Q .
这让我们想到的是，在实际编程实现中，如何有效判断皇后之间的冲突，并迅速寻找解。
问题的数学建模
在传统回溯法中，我们通常通过二维数组来存储棋盘状态。这种方法显而易见，易于实现，但时间复杂度和空间复杂度都不理想，特别是当 N 增大时，判断列和斜线是否冲突的操作会耗费大量时间。
于是，我们需要更精巧的数学工具——位运算。
位运算的巧妙之处
核心思想
使用三个整数来表示棋盘的状态：
columns表示哪些列已经有皇后。diagonals1表示哪些主对角线已经有皇后。diagonals2表示哪些副对角线已经有皇后。
每当放置一个皇后时，更新这三个整数即可快速判断下一步是否合法。
为什么高效？
位运算通过位与操作快速定位冲突，与传统的数组查找相比，减少了时间消耗。
实现代码
下面是基于位运算的 N 皇后 II 解决方案：
def totalNQueens(n):"""使用位运算求解 N 皇后问题的解数:param n: 棋盘的大小 (N×N):return: 所有可能的解的数量"""def solve(row, columns, diagonals1, diagonals2):"""回溯函数，使用位运算检测冲突并递归寻找解:param row: 当前正在放置皇后的行号:param columns: 已经被占用的列，用位表示:param diagonals1: 主对角线上的占用状态，用位表示:param diagonals2: 副对角线上的占用状态，用位表示"""if row == n:# 当所有行都摆放完毕，找到一个合法解nonlocal solutionssolutions += 1return# 可选择的列（通过按位取反和位或操作计算出可用位置）available_positions = ((1 << n) - 1) & ~(columns | diagonals1 | diagonals2)while available_positions:# 取出最低位的 1（当前选择的位置）position = available_positions & -available_positions# 将该位置从可选列表中移除available_positions &= available_positions - 1# 递归放置皇后，并更新列和对角线状态solve(row + 1,columns | position,(diagonals1 | position) << 1,(diagonals2 | position) >> 1)# 解的数量solutions = 0# 从第 0 行开始放置皇后solve(0, 0, 0, 0)return solutions# 示例：求解 8 皇后的解数
n = 8
print(f"{n} 皇后问题的解数是：{totalNQueens(n)}")
代码解析
-
棋盘状态压缩
使用整型变量columns、diagonals1和diagonals2表示列、主对角线和副对角线是否有冲突。例如，columns=5（二进制101）表示第 0 列和第 2 列已经被占用。 -
快速定位可用位置
available_positions = ((1 << n) - 1) & ~(columns | diagonals1 | diagonals2)
这一步通过按位与操作计算当前行中可放置皇后的所有列位置。 -
递归求解
按位取最低位 1，用来选择一个可放置位置，并将其余状态更新到下一步中。 -
优化搜索
通过available_positions & -available_positions取最低位的 1，可以快速确定当前要处理的位置。
优化后的性能表现
使用位运算后，程序在大规模 N 值下的表现显著优于普通数组版本。例如，求解 14 皇后问题，位运算的实现时间可以减少数倍。在实际竞赛和高性能场景中，位运算是不可或缺的利器。
总结与启发
位运算的应用让我们不仅仅关注“如何解决问题”，更关注“如何高效地解决问题”。从 N 皇后问题的优化中，我们可以看到位运算的强大之处，同时也提醒我们，在面对复杂问题时，数学的抽象能力和算法的优化思想是两大利器。