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引言

前序学习进程中，已经学习了超平面的基础知识，学习链接为：超平面
在此基础上，要想正确绘制超平面，还需要了解感知机的相关概念。

感知机

感知机是对生物神经网络的模拟，当输入信号达到感知机的阈值时，会输出感应信号，否则不会有任何反应。
这里先对感知机建立数学模型。
对于向量F和向量G，有：
$$\bar{F}=(f0,f1,f2,...,fn),\bar{G}=(g0,g1,g2,...,gn)$$定义向量点积：$$H=\bar{F}\cdot \bar{G}$$

如果满足：
$$H=\{\begin{array}{c}1\text{if }H\ge 0\\ -1\text{if }H<0\end{array}$$
相应的，在numpy模块中，也有一个sign()函数可以对感知机的数学模型进行精炼表达，这有一个代码实例：

# 引入numpy模块
import numpy as np
# 引入数据
x=[1,2,3,-6,-8,-10]
# np.sign()函数测试
z=np.sign(x)
print('z=',z)

代码运行后的输出效果为：

非常明显，对于非负数，np.sign()函数输出1，对于负数则直接输出0。

一个关于感知机的项目

这里有一个感知机算法的简单项目：

# 引入模块
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import make_classification
from matplotlib.colors import ListedColormap# 定义随机数种子
# 定义了随机数种子后，每次产生的随机数是一样的
# 使用不同的随机数种子，会得到不同的初始随机数
np.random.seed(88)def perceptron_learning_algorithm(x, y):# W是3个在[0,1)区间上均匀分布的随机数w = np.random.rand(3)# misclassified_examples是由predict()函数计算获得misclassified_examples = predict(hypothesis, x, y, w)while misclassified_examples.any():x_example, expect_y = pick_one_from(misclassified_examples, x, y)# 更新权重w = w + x_example * expect_y# 重新代入predict()函数进行评估misclassified_examples = predict(hypothesis, x, y, w)return w# hypothesis函数对w和x两个向量的点积进行感知机运算
# hypothesis函数返回值是1或者-1
def hypothesis(x, w):return np.sign(np.dot(w, x))# predict函数包括4个变量
def predict(hypothesis_function, x, y, w):# np.apply_along_axis函数先将x按照行取出，这是由axis=1决定的取值方式# hypothesis_function每次接收x的一行和wpredictions = np.apply_along_axis(hypothesis_function, 1, x, w)# y != predictions表示分类错误，这个！代表的不等于判断会输出布尔结果False和True# x[y != predictions]直接输出x[y != predictions]取值为True时对应x行的数据misclassified = x[y != predictions]return misclassified# pick_one_from函数
def pick_one_from(misclassified_examples, x, y):# 随机打乱分类样本的顺序np.random.shuffle(misclassified_examples)t = misclassified_examples[0]index = np.where(np.all(x == t, axis=1))[0][0]return x[index], y[index]# 使用sklearn生成线性可分的数据集
x, y = make_classification(n_samples=100,n_features=2,n_redundant=0,n_informative=2,n_clusters_per_class=1,random_state=42,class_sep=2.0
)# 将标签从0/1转换为-1/1
y = np.where(y == 0, -1, 1)# 添加偏置项
x_augmented = np.c_[np.ones(x.shape[0]), x]# 训练感知机模型
w = perceptron_learning_algorithm(x_augmented, y)
print("感知机权重:", w)# 绘制分类效果图
plt.figure(figsize=(10, 8))# 绘制数据点
plt.scatter(x[y==1][:, 0], x[y==1][:, 1], c='blue', marker='o', label='Class +1', edgecolor='k', s=70)
plt.scatter(x[y==-1][:, 0], x[y==-1][:, 1], c='red', marker='o', label='Class -1', s=70)# 绘制决策边界
x_min, x_max = x[:, 0].min() - 1, x[:, 0].max() + 1
y_min, y_max = x[:, 1].min() - 1, x[:, 1].max() + 1xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, 0.02),np.arange(y_min, y_max, 0.02))# 预测网格点的分类
Z = np.array([hypothesis(np.array([1, a, b]), w) for a, b in zip(xx.ravel(), yy.ravel())])
Z = Z.reshape(xx.shape)# 绘制分类区域
cmap_light = ListedColormap(['#FFAAAA', '#AAAAFF'])
plt.contourf(xx, yy, Z, cmap=cmap_light, alpha=0.3)# 绘制决策边界
plt.contour(xx, yy, Z, levels=[0], linewidths=2, colors='black')# 添加图例和标题
plt.title('Perceptron Classification Results', fontsize=16)
plt.xlabel('Feature 1', fontsize=14)
plt.ylabel('Feature 2', fontsize=14)
plt.legend(loc='upper right', fontsize=12)
plt.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)
plt.tight_layout()plt.show()

代码运行后，会获得直接的分类效果：

下一件文章将详细解读代码。

总结

学习了感知机的基本概念。