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支持向量机（SVM）是一种强大的监督学习算法，广泛应用于分类和回归任务。本文详细探讨了SVM的理论基础，包括最大间隔分离超平面、软间隔和核技巧（Kernel Trick）的数学原理，并通过LaTeX公式推导其优化目标。接着，我们用C++实现了一个简单的线性SVM，包括梯度下降优化求解支持向量，并附带详细的中文注释。此外，文章介绍了核函数（如RBF核）的应用，以及如何通过软间隔处理非线性可分数据。实验部分对比了线性SVM与核SVM在不同数据集上的性能，分析了参数（如正则化系数C和核参数γ）对模型的影响。最后，我们讨论了SVM的优缺点及其在实际应用中的改进方向（如SMO算法）。本文适合对机器学习和C++编程感兴趣的读者，帮助他们理解SVM的理论与实践，掌握其实现细节。

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正文

1. 引言

支持向量机（Support Vector Machine, SVM）是机器学习领域中一种经典的监督学习算法，特别适用于分类问题。其核心思想是通过寻找一个最优超平面，将不同类别的样本最大化间隔，从而实现分类。SVM不仅适用于线性可分数据，还通过核技巧（Kernel Trick）处理非线性数据，使其在图像识别、自然语言处理等领域表现出色。

本文将从SVM的理论基础入手，推导其数学模型，展示C++实现，并探讨优化策略和性能分析。目标是帮助读者理解SVM的内在机制，并掌握其编程实践。

2. 支持向量机的理论基础

2.1 基本思想

SVM的目标是找到一个超平面 (w^T x + b = 0)，使得不同类别的样本点到超平面的距离（间隔）最大化。对于线性可分数据，间隔定义为两类支持向量之间的距离，记为 (2/||w||)，其中 (w) 是超平面的法向量，(||w||) 是其范数。

2.2 硬间隔优化问题

对于线性可分数据，SVM的优化目标是最大化间隔，同时满足分类约束。数学表达为：

• 约束条件，满足：
  $$y_i(w^T{x}_i+b)\ge 1,\forall i$$

• 目标函数：最大化间隔$$2/||w||$$，等价于最小化$$||w|{|}^2/2$$：
  $$\underset{w,b}{\min }\frac{1}{2}||w|{|}^2$$

这是一对约束优化问题，可通过拉格朗日乘子法转化为对偶问题。

2.3 软间隔与正则化

实际数据通常不可完全线性分离，因此引入软间隔（Soft Margin），允许部分误分类点。引入松弛变量 ξ i ≥ 0 \xi_i \geq 0 ξ