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线性代数小述（二之前）

by Amamiya_Fuko

斜阳洒落，仍是今朝
踉跄西去，不见东还

前言

线性代数是什么？它什么也不是，也可以是什么，它的意义是随意的、偶然的，也许它是期末考试的科目，又或者是解决问题的工具，但现在它是我们欲望的名，是我的自我，是神圣的本体，总之，是有趣的东西，希望你享受其中。

目录

1.向量与向量空间
2.线性组合与线性方程
3.线性变换

向量与向量空间

向量是向量空间内的元素，对于线性代数来说，向量的意义仅仅局限于此，与几何并无特别的关系，尽管线性代数在几何上的应用十分广泛，但线性代数同样可以应用到其他方面。

向量空间是一个有着四个运算与两个集合的代数系统，设其运算为va（向量加法）、vt（向量标乘）、na（域加法）、nt（域乘法），代数系统(V,N,va,vt,na,nt)满足以下规定

1. va对于向量集V构成一个交换群
2. na、nt对于标量集N构成一个域，其中na为加法，nt为乘法
3. vt(N,V)=V，vt对于V封闭
4. vt对于V有么元
   设$v,u\in V，n,m\in N$
5. vt满足结合律，vt(nt(n,m),v) = vt(n,vt(m,v))
6. vt对于na满足分配律，va(vt(n,v),vt(m,v))=vt(na(n,m),v)
7. vt对于va满足分配律，va(vt(n,v),vt(n,u))=vt(n,va(v,u))

其标准定义为（心虚）

设V是一个非空集合，P是一个域。若：
1.在V中定义了一种运算，称为加法，即对V中任意两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一个元素α+β，称为α与β的和.
2.在P与V的元素间定义了一种运算，称为纯量乘法（亦称数量乘法），即对V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα，称为k与α的积。
3.加法与纯量乘法满足以下条件：

1. α+β=β+α，对任意α，β∈V.
2. α+(β+γ)=(α+β)+γ，对任意α，β，γ∈V.
3. 存在一个元素0∈V，对一切α∈V有α+0=α，元素0称为V的零元.
4. 对任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β称为α的负元素，记为-α.
5. 对P中单位元1，有1α=α(α∈V).
6. 对任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).
7. 对任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.
8. 对任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ，
   则称V为域P上的一个线性空间，或向量空间。V中元素称为向量，V的零元称为零向量，P称为线性空间的基域。

线性组合与线性方程

线性组合是向量方程也是线性方程，如$x\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}$就是一个线性方程。

线性组合的多项式形式为$x_1\overrightarrow{v_1}+x_2\overrightarrow{v_2}\cdots =\overrightarrow{u}$

其矩阵形式为
$$[v_1{v}_2\cdots ]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\end{array}\right]=\overrightarrow{u}$$

显然的，线性组合是一个向量空间的表示形式。

设一个线性组合为 Ax = b，其中A为向量矩阵，x为标量矩阵，其中元素为自变量，b为因变量，它是一个向量，则所有的b构成一个变量空间。

也就是说，给定有限向量可以得到整个向量空间，这一步操作被称为张成

线性变换

线性变换是种同态映射，即将一个向量空间中的元素映射到另一个向量空间上，但线性变换发生在两个同域的向量空间上。