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计算几何基本模板（二维）

目录

• 基本设置
• 点 + 向量
  • Point（Vector）
  • 点积（数量积、内积）
  • 向量积，叉积
  • 两点间距离
  • 向量的模
  • 单位向量
  • 两向量的夹角
  • 判断点在直线的哪边
  • 逆转角
• 线
  • 直线表达式
  • Line
  • 判断三点共线
  • 点到直线的距离
  • 点到线段的距离
  • 判断点是否在线段上
  • 判断直线与线段是否相交
  • 判断两线段是否相交
  • 判断两直线平行
  • 求两直线交点
• 多边形
  • 三角形面积
  • 三角形四心
  • 正弦定理 & 余弦定理
  • 正多边形性质
  • 求多边形面积
  • 判断点在多边形内
  • 判断凸多边形
• 圆
  • Circle
  • 扇形面积
  • 点与圆位置关系
  • 直线与圆位置关系
  • 直线与圆交点
  • 圆与圆位置关系
  • 圆与圆交点
  • 求圆的切点
  • 三角形外接圆
  • 三角形内切圆
• 网格
  • 线段整点个数
  • 多边形边整点个数
  • 多边形内整点个数
• 极角排序
• 凸包算法
• 最小圆覆盖
• 圆的面积并
• 圆与多边形面积交
• 自适应辛普森积分
• 平面最近点对

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基本设置

• 使用long double提高精度
• 定义常数eps=1e-8和PI=acos(-1.0)
• 实现sgn()函数处理浮点数精度判断

点 + 向量

Point（Vector）

struct Point { /*...*/ };

• 包含坐标(x,y)和运算符重载

点积（Dot）

$$\vec{A}\cdot \vec{B}=|A||B|\cos \theta$$

double operator*(Vector &A, Vector &B);

叉积（Cross）

$$\vec{A}\times \vec{B}=|A||B|\sin \theta$$

double operator^(Vector &A, Vector &B);

两点间距离

$$dist(A,B)=\sqrt{(A.x-B.x{)}^2+(A.y-B.y{)}^2}$$

向量模长

$$|A|=\sqrt{A.x^2+A.y^2}$$

单位向量

$$norm(A)=\frac{A}{|A|}$$

向量夹角

$$\theta =\arccos (\frac{A\cdot B}{|A||B|})$$

点关于直线的位置判断

• 使用叉积判断点在线段的左右关系

向量旋转

$${\vec{A}}^{\prime }=(x\cos \theta -y\sin \theta ,x\sin \theta +y\cos \theta )$$

线

直线表达式

• 一般式：$Ax+By+C=0$
• 点向式：$\vec{P}=P_0+t\vec{d}$

Line结构体

struct Line { Point s, e; };

三点共线判断

$$(B-A)\times (C-B)=0$$

点到直线距离

$$d=\frac{|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AP}|}{|AB|}$$

点到线段距离

• 分三种情况：垂直投影在线段内/外

点在线段上判断

• 通过点积和叉积综合判断

直线与线段相交判断

• 利用叉积符号判断端点位置

线段相交判断

1. 快速排斥试验
2. 跨立试验

直线交点求解

$$t=\frac{(\overrightarrow{CD}\times \overrightarrow{CA})}{(\overrightarrow{CD}\times \overrightarrow{AB})}$$

多边形

三角形面积

• 海伦公式
• 叉积公式：$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|$

多边形面积

• 鞋带定理：$\frac{1}{2}|{\sum }_{i=0}^{n-1}(P_i\times P_{i+1})|$

点在多边形内判断

• 射线法统计交点奇偶性
• 凸多边形方向法

凸包求解（Andrew算法）

1. 按坐标排序
2. 维护上下凸壳

圆

圆与点位置关系

• 计算点到圆心距离与半径比较

直线与圆相交

• 代数法解方程组求交点

圆与圆相交

• 计算圆心距与半径关系

最小圆覆盖

• 随机增量法逐步扩展

网格相关

线段整点计数

• 利用GCD计算格点数

皮克定理

$$S=I+\frac{B}{2}-1$$

高级算法

极角排序

• 分象限处理，避免浮点误差

自适应辛普森积分

• 自动划分区间积分

平面最近点对

• 分治法结合归并排序