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wzjs 2025/7/18 18:42:28

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序列模型

序列数据的本质

在现实世界中，时间维度构成了我们理解事件的基础框架。从语言交流到金融市场，从生物序列到传感器网络，时间序列数据无处不在：

序列模型正是为处理这类具有时间或顺序依赖关系的数据而设计的计算框架。其核心挑战在于捕捉元素之间的长期依赖关系，同时处理变长输入和输出序列。

类型

语音识别，输入一段语音输出对应文字
情感分类，输入一段表示用户情感的文字，输出情感类别或者评分
机器翻译，两种语言的互相翻译

为什么CNN在序列模型中表现不佳？

尽管卷积神经网络（CNN）在图像领域大放异彩，但在处理序列数据时面临根本性局限：

固定感受野：
- 只能捕捉局部依赖
- 难以建模长距离依赖
- 序列数据的输入输出长度不固定
计算效率问题：
- 为捕捉长距离依赖需要极深网络
- 参数量随感受野线性增长
时间对称性：
- 标准卷积无方向性
- 序列处理需考虑时间方向（过去→未来）

循环神经网络

基础循环网络介绍

基础循环网络示例图

数学表示：
$s_0=0$
$s_t = g1(Ux_t + Ws_{t-1} + b_a)$
$o_t = g2(Vs_t + b_y)$

其中：

$s_t$ ：每一个隐层的输出
$x_t$ ：每一个时刻的输入
$o_t$ ：每一个时刻的输出
$W$ ：权重矩阵
$g 1, g 2$ ：激活函数

类型

循环神经网络类型示例图

一对一：
- 固定输入 → 固定输出
- 示例：图像分类
一对多：
- 固定输入 → 序列输出
- 示例：图像文字描述
多对一：
- 序列输入 → 输出
- 示例：情感分析
多对多：
- 序列输入 → 序列输出
- 示例：机器翻译
- 变体：编码器-解码器架构
同步多对多：
- 同步序列输入 → 同步输出
- 示例：文本生成，视频每一帧分类

序列生成案例解析：语言建模

以生成句子"我昨天上学迟到了 e"为例（e表示结束符）：

序列生成过程

序列生成案例示意图

词的表示

为了能够让整个网络能够理解我们的输入（英文/中文等），需要将词用向量表示：

建立一个包含所有序列词的词典包含(开始和标志的两个特殊词，以及没有出现过的词等) ，每个词在词典中有唯一编号。
任意一个词可用 N 维 one-hot 向量表示，向量维度 N = 词典中词的个数。

词的表示示意图

输出表示：Softmax概率分布

RNN在每个时间步输出词汇表上的概率分布：

$P(wt∣w<t)=Softmax(Woht+bo)P(w_t | w_{<t}) = \text{Softmax}(W_oh_t + b_o)$

Softmax函数：
$j=1,...,K\sigma(z)_j = \frac{e^{z_j}}{\sum_{k=1}^K e^{z_k}} \quad \text{for } j=1,...,K$

示例t=2时刻输出概率：

“上学”：0.45
“跑步”：0.25
“吃饭”：0.15
…

RNN的数学引擎

矩阵运算表示

假设以上面的例子：对于网络当中某一时刻的公式中

$s_t= relu(Ux_t+Ws_{t-1})$
$o_t = softmax(Vs_t)$

1、形状表示： $ [n, m] \times [m, 1] + [n, n] \times [n, 1] = [n, 1]$
- 则矩阵 U 的维度是 n×m，矩阵 W 的维度是 n×n
- m：词的个数，n：输出 s 的维度
2、形状表示： $[m, n] \times [n, 1] = [m, 1]$
- 矩阵 V 的维度是 m×n

交叉熵损失函数

对于序列预测任务，使用时间步交叉熵的累积：

$L=−∑t=1T∑k=1Kyt,klog⁡y^t,k\mathcal{L} = -\sum_{t=1}^T \sum_{k=1}^K y_{t,k} \log \hat{y}_{t,k}$

其中：

$T$ ：序列长度
$K$ ：词汇表大小
$y_t$ ：真实标签的独热编码
$y^t\hat{y}_t$ ：预测概率分布

时序反向传播算法（BPTT）

BPTT算法原理

对于RNN来说有一个时间概念，需要把梯度沿时间通道传播的 BP 算法，所以称为 Back Propagation Through Time-NPTT

我们的目标是计算误差关于参数 U、V、W 以及 bx、by 的梯度，使用梯度下降法学习参数。（因三组参数共享，需将一个训练实例在每时刻的梯度相加）

1、要求：计算每个时间步的梯度： t=0, t=1, t=2, t=3, t=4，将各时刻梯度相加的结果作为参数 W 的更新梯度值。
2、求不同参数的导数步骤：
- 最后一个 cell：
  - 计算最后一个时刻的交叉熵损失对 $s_t$ 的梯度，记忆交叉熵损失对于 $s_t$ , $V$ , $b_y$ 的导数
- 最后一个 cell 前面的 cell：
  - 第一步：计算当前层损失对当前隐层状态 $s_t$ 的梯度 $+$ 上一层相对于 $s_t$ 的损失
  - 第二步：计算 tanh 激活函数的导数：
  - 第三步：计算 $Ux_t+Ws_{t-1}+b_a$ 的对于不同参数的导数

梯度计算

考虑损失函数对参数 $W$ 的梯度：

$∂L∂W=∑t=1T∂L∂st∂st∂xt∂xt∂W\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial W} = \sum_{t=1}^T \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial s_t} \frac{\partial s_t}{\partial x_t} \frac{\partial x_t}{\partial W}$
考虑损失函数对参数 $U$ 的梯度：

$∂L∂U=∑t=1T∂L∂st∂st∂xt∂xt∂U\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial U} = \sum_{t=1}^T \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial s_t} \frac{\partial s_t}{\partial x_t} \frac{\partial x_t}{\partial U}$

考虑损失函数对参数 $b$ 的梯度：

$∂L∂b=∑t=1T∂L∂st∂st∂xt∂xt∂b\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial b} = \sum_{t=1}^T \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial s_t} \frac{\partial s_t}{\partial x_t} \frac{\partial x_t}{\partial b}$

BPTT计算示例

考虑序列长度T=3的简化RNN：

前向传播：
- $s_1 = \tanh(Wx_1 + b_h)$
- $s_2 = \tanh(Wx_2 + Ws_1 + b_h)$
- $s_3 = \tanh(Wx_3 + Ws_2 + b_h)$
反向传播（计算 $∂L∂W\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial W}$ ）：
$∂L∂W=δ3∂s3∂W+δ2∂s2∂W+δ1∂s1∂W\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial W} = \delta_3 \frac{\partial s_3}{\partial W} + \delta_2 \frac{\partial s_2}{\partial W} + \delta_1 \frac{\partial s_1}{\partial W}$

其中：
- $δ3=∂L∂o3∂o3∂s3\delta_3 = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial o_3} \frac{\partial o_3}{\partial s_3}$
- $δ2=δ3∂s3∂s2∂s2∂s2+直接梯度\delta_2 = \delta_3 \frac{\partial s_3}{\partial s_2} \frac{\partial s_2}{\partial s_2} + \text{直接梯度}$
- $δ1=δ2∂s2∂s1∂s1∂s1\delta_1 = \delta_2 \frac{\partial s_2}{\partial s_1} \frac{\partial s_1}{\partial s_1}$
梯度累积：
$∂L∂W=δ3s2+δ2s1+δ1⋅0\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial W} = \delta_3 s_2 + \delta_2 s_1 + \delta_1 \cdot 0$

RNN的核心挑战：梯度动力学

梯度消失问题

现象：长期依赖梯度指数级衰减

数学本质：
$∥∂st∂sk∥≈∥∏i=kt−1∂si+1∂si∥≤(γ)t−k\left\| \frac{\partial s_t}{\partial s_k} \right\| \approx \left\| \prod_{i=k}^{t-1} \frac{\partial s_{i+1}}{\partial s_i} \right\| \leq (\gamma)^{t-k}$
其中 $γ<1\gamma < 1$