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2010年第3题

下列线索二叉树中（用虚线表示线索），符合后序线索树定义的是（ ）

解析

本题主要考查线索二叉树及其后序遍历的有关知识。

1. 线索二叉树：线索二叉树是对普通二叉树的优化，通过利用空指针（nill 指针）存储“线索”（threads），指向遍历顺序中的前驱或后继结点。这样可以在不使用递归或栈的情况下高效实现遍历。

   • 为什么使用线索：普通二叉树遍历（如中序、后序）需要 $O(n)$ 空间复杂度（栈深度），而线索化后，遍历可降至 $O(1)$ 空间复杂度（仅需指针移动）。

   • 线索的的表示：

     • 每个结点有两个指针（left 和 right）和两个标志位（ltag 和 rtag）。
       • 若 ltag = 0，left 指针指向左孩子；若 ltag = 1，left 指针为线索，指向前驱结点。
       • 若 rtag = 0，right 指针指向右孩子；若 rtag = 1，right 指针为线索，指向后继结点。

   • 线索化的目的：减少遍历时的空间开销，并支持快速查找前驱/后继。

2. 后序线索树：线索的设置严格遵循后序遍历顺序。具体规则：

   • 如果结点的左孩子为空，则其左指针（ltag=1）应指向其后序前驱结点。
   • 如果结点的右孩子为空，则其右指针（rtag=1）应指向其后序后继结点。
   • 如果结点有左/右孩子，则指针（ltag=0 或 rtag=0）必须指向孩子，不能设置线索。
   • 结点处理：
     • 后序序列的第一个结点（最左叶结点）：没有前驱，因此左线索应为 null 或指向一个虚拟头结点（如果树有头结点）。
     • 后序序列的最后一个结点（根结点）：没有后继，因此右线索应为 null 或指向虚拟头结点。
     • 其他结点：线索必须精确指向后序序列中的前一个或后一个结点。

根据上述知识，观察题目选项中的二叉树，对其进行后续遍历，得到的结点序列为：d、b、c、a。

• 结点 d 是后序序列的第一个结点，它没有前驱，左线索应为 null；结点 d 的后继是结点 b，所以其右指针指向后继结点 b。
• 结点 b 没有左孩子，所以其左指针指向其前驱结点 d。
• 结点 c 没有左孩子，其左指针指向其前驱结点 b；亦没有右孩子，其右指针指向其后继结点 a。
• 结点 a 有左右孩子，两个指针不保存线索。

对照各选项中虚线所示，可知 D 图符合后续线索二叉树定义。

本题答案：D