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习题1-6

4. 利用极限存在准则证明

(3)数列$\sqrt{2},\sqrt{2+\sqrt{2}},\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}},\dots$的极限存在并且求极限
$$\begin{gathered} 证明： \\ 设改数量为a_n,则 \\ {a}_1=\sqrt{2},a_2=\sqrt{2+\sqrt{2}},\dots \\ 数列的通项为a_{n+1}=\sqrt{2+a_n} \\ 利用归纳法证明数量a_n有界 \\ 0<a_1=\sqrt{2}<2,假设a_n=\sqrt{2+a_{n-1}}<2 \\ 则a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}<\sqrt{2+2}=2 \\ 即数列a_n有界 \\ {a}_{n+1}-a_n=\sqrt{2+a_n}-a_n=\frac{(\sqrt{2+a_n}-a_n)(\sqrt{2+a_n}+a_n)}{\sqrt{2+a_n}+a_n} \\ =\frac{(2-a_n)(1+a_n)}{\sqrt{2+a_n}+a_n} \\ 由上面知,0<a_n<2 \\ \therefore a_{n+1}-a_n>0 \\ 即数列a_n单调递增 \\ 数列a_n为单调有界数列，所以数量a_n极限存在 \\ 设\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=a \\ 已知a_{n+1}=\sqrt{2+a_n},则当n\to +\infty 时，对等式两边求极限 \\ \underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_{n+1}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt{2+a_n} \\ a=\sqrt{2+a},因为0<a<2，得 \\ a=2 \end{gathered}$$
(4)${\lim }_{x\to 0}\sqrt[n]{1+x}=1$
$$\begin{gathered} 证明： \\ 当x\to 0^{+}时,1<\sqrt[n]{1+x}<1+x \\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }1=1,\underset{x\to 0^{+}}{\lim }1+x=1 \\ \therefore \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\sqrt[n]{1+x}=1 \\ 当x\to 0^{-}时,(1+x)<\sqrt[n]{1+x}<1 \\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }1=1,\underset{x\to 0^{+}}{\lim }1+x=1 \\ \therefore \underset{x\to 0^{-}}{\lim }\sqrt[n]{1+x}=1 \\ 所以\underset{x\to 0}{\lim }\sqrt[n]{1+x}=1 \end{gathered}$$

(5)${\lim }_{x\to 0^{+}}x[\frac{1}{x}]=1$
$$\begin{gathered} 证明： \\ 因为不等式x-1<[x]\le x成立 \\ x替换为\frac{1}{x},有\frac{1}{x}-1<[\frac{1}{x}]\le \frac{1}{x} \\ 当x>0时，不等式同时乘以x有 \\ x(\frac{1}{x}-1)<x[\frac{1}{x}]\le x\frac{1}{x} \\ (1-\frac{1}{x})<x[\frac{1}{x}]\le 1 \\ 其中\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(1-\frac{1}{x})=1,\underset{t\to 0^{+}}{\lim }1=1 \\ \therefore \underset{x\to 0^{+}}{\lim }x[\frac{1}{x}]=1 \end{gathered}$$

习题1-7

5.利用等价无穷小的性质，求下列极限

(4)${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x-\tan x}{(\sqrt[3]{1+x^2}-1)(\sqrt{1+\sin x}-1)}$
$$\begin{gathered} 解： \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-\tan x}{(\sqrt[3]{1+x^2}-1)(\sqrt{1+\sin x}-1)} \\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x(\cos x-1)}{(\frac{1}{3}{x}^2)(\frac{1}{2}\sin x)} \\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{6x(-\frac{1}{2}{x}^2)}{x^3}=-3 \end{gathered}$$

习题 1-8

4 讨论函数的连续性

讨论函数$f(x)={\lim }_{n\to \infty }\frac{1-x^{2n}}{1+x^{2n}}\cdot x(n\in N_{+})$的连续性，若有间断点，则判别其类型
$$\begin{gathered} 解： \\ f(x)=\{\begin{array}{l}-x,x<-1,\\ 0,x=-1,\\ x,-1<x<1\\ 0,x=1,\\ -x,x>1\end{array} \\ \underset{x\to -1^{-}}{\lim }f(x)=1,f(-1)=0,\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f(x)=-1 \\ \therefore x=-1是f(x)的第一类间断点-跳跃间断点 \\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=1,f(1)=0,\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=-1 \\ \therefore x=1是f(x)的第一类间断点-跳跃间断点 \end{gathered}$$

6 证明

证明：若函数$f(x)在点x_0$连续且$f(x_0)\ne 0$，则存在$x_0$的某一邻域$U(x_0)$，当$x\in U(x_0)$时，$f(x)\ne 0$
$$
证明：\
\because f(x)在点x_0处连续\
\therefore \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\not = 0\
即\exists \epsilon \gt 0,U(x_0),当x\in U(x_0)时，有\
|f(x)-f(x_0)|\lt \epsilon ,即f(x_0)-\epsilon \lt f(x)\lt f(x_0)+\epsilon\

当f(x_0)\gt 0时，令\epsilon = \frac{1}{2}f(x_0),有\
0\lt \frac{1}{2}f(x_0)\lt f(x)\lt \frac{3}{2}f(x_0)\
当f(x_0)\lt 0时，令\epsilon=-\frac{1}{2}f(x_0),有\
\frac{3}{2}f(x_0)\lt f(x)\lt \frac{1}{2}f(x_0)\lt 0\
\therefore \exist U(x_0),当x\in U(x_0)时有 f(x_0)\not =0
$$

8 证明

设$f(x)$对任意实数$x,y$,有$f(x+y)=f(x)+f(y)$,且$f(x)在x=0$处连续，证明：$f(x)在R$上连续。
$$\begin{gathered} 证明： \\ 取y=0有，f(x)=f(x)+f(0),f(0)=0 \\ \because f(x)在x=0处连续，有 \\ \underset{x\to 0}{\lim }f(x)=f(0)=0即\underset{\Delta x\to 0}{\lim }f(\Delta x)=0 \\ f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+f(\Delta x),\Delta x\to 0时等式两边取极限,有 \\ \underset{\Delta x\to 0}{\lim }f(x_0+\Delta x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }f(x_0)+\underset{\Delta x\to 0}{\lim }f(\Delta x) \\ \underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0) \\ 即f(x)在R上连续 \end{gathered}$$
​

习题1-10

3 证明

证明方程$x=a\sin x+b,其中a>0,b>0$,至少有一个正根，并且它不超过$a+b$
$$
证明:\
令f(x)=x-a\sin x-b ,f(x)为区间(-\infty,+\infty)上连续函数\\
f(0)=0-a\sin 0-b=-b\lt 0\
f(a+b)=(a+b)-a\sin(a+b)-b=a[1-\sin(a+b)]\ge 0\

当sin(a+b)\lt 1时，f(a+b)\gt 0\
根据零点定理有存在一点\xi \in(0,a+b)\gt 0使得f(\xi)=0即存在一正根，且不超过a+b\
当sin(a+b)=1时，f(a+b)=0即a+b\gt 0是a=a\sin x+b的根，且不超过a+b\
$$

4 证明

证明任一最高次幂的指数为奇数的代数方程$a_0{x}^{2n+1}+a_1{x}^{2n}+\cdots +a_{2n}x+a_{2n+1}=0$至少有一实根，其中$a_0,a_1,\cdots ,a_{2n+1}$均为常数，$n\in N.$
$$\begin{gathered} 证明： \\ 令f(x)=a_0{x}^{2n+1}+a_1{x}^{2n}+\cdots +a_{2n}x+a_{2n+1},a_0\ne 0 \\ f(x)在(-\infty ,+\infty )连续 \\ 当x的绝对值充分大时，f(x)的符号取决于a_0的符号，当x为正时，与a_0同号，当x为负时，与a_0异号 \\ f(x)在|x|充分大时异号，由零点定理可知存在\xi \in (-\infty ,+\infty )使得f(\xi )=0即 \\ f(x)存在至少一个实根 \end{gathered}$$

5 证明

若$f(x)在[a,b]$上连续，$a<x_1<x_2<\cdots <x_n<b（n\ge 3)$，则在$(x_1,x_n)$内至少存在一点$\xi$，使$f(\xi )=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n)}{n}$
$$\begin{gathered} 证明： \\ 有题知，f(x)在[x1,x_n]上也连续,由最大值最小值定理 \\ 存在最小值m和最大值M使得m\le f(x)\le M,得 \\ nm\le f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n)\le nM即 \\ m\le \frac{f(x_1)+f(x_1)+\cdots +f(x_n)}{n}\le M \\ 由介值定理得存在\xi \in (x_1,x_n)使得f(\xi )=\frac{f(x_1)+f(x_1)+\cdots +f(x_n)}{n} \end{gathered}$$

6 证明

设函数$f(x)$对于闭区间$[a,b]$上的任意两点$x,y$恒有$|f(x)-f(y)|\le L|x-y|$,其中$L为正常数$,且$f(a)\cdot f(b)<0$ 证明：至少存在一点$\xi \in (a,b)，使得f(\xi )=0$
$$\begin{gathered} 证明: \\ 令y=x_0\in (a,b),x_0为(a,b)上任意一点有 \\ |f(x)-f(x_0)|\le L|x-x_0| \\ \forall ϵ>0,取\delta ϵ=\frac{ϵ}{L},当|x-x_0|<\delta 时，有|f(x)-f(x_0)|\le L|x-x_0|<ϵ \\ \therefore \underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)即f(x)在(a,b)上连续 \\ 令x_0=a,\forall ϵ>0,取\delta ϵ=\frac{ϵ}{L},当0<x-a<\delta 时，有f(x)-f(a)\le L(x-x_0)<ϵ \\ \therefore \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=f(a)即f(x)在a点右连续 \\ 令x_0=b,\forall ϵ>0,取\delta ϵ=\frac{ϵ}{L},当-\delta <x-b<0时，有f(x)-f(b)\le L(x-x_0)<ϵ \\ \therefore \underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)=f(b)即f(x)在b点左连续 \\ \therefore f(x)在[a,b]上连续 \\ \because f(a)\cdot f(b)<0，根据零点定理有 \\ \exists \xi \in (a,b),使f(\xi )=0 \end{gathered}$$

结语

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参考：

[1]同济大学数学系.高等数学 第七版 上册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.p52-70.

[2]《高等数学》课后习题，兼容同济七版和八版[CP/OL].2024-09-01.p12-18.