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一、机械臂运动规划概述
机械臂的运动规划包括路径规划和轨迹规划两个方面。
1.路径规划：
定义：路径规划是指在给定的起点和终点之间，寻找一条无碰撞的路径。路径可以是直线、曲线或者其他形状，主要关注的是路径的几何形状。
目标：避障、路径尽可能短、平滑
常用方法：直线插补、圆弧插补、B样条、多项式插值、RRT、基于图搜索的方法、人工势场法等
2.轨迹规划
定义：轨迹规划是在路径规划的基础上，为路径赋予时间信息，包括速度、加速度等，是的机械臂能够按照预定的时间和运动特性完成运动
目标：时间优化、能量优化、运动平滑、动态约束
常用方法：笛卡尔轨迹规划（对末端执行器位姿有严格要求的场合）、关节空间轨迹规划（对关节运动由严格要求的场合）
二、插补与拟合
1.直线插补
1）本质上就是在起始位置和目标位置之间生成一段直线轨迹。
2）其求解思路如下：
确定起始位置==》确定单位步长（dx，dy，dz），也就是（终点坐标-起点坐标）/（插值点个数-1）==》确定插值点坐标，其计算公式如下
def linear_interpolation_3d(start_point, end_point, num_points):"""生成从start_point到end_point的三维直线插补点。参数:start_point (tuple): 起始点坐标，格式为(x, y, z)。end_point (tuple): 终止点坐标，格式为(x, y, z)。num_points (int): 要生成的插补点数量，包括起始点和终止点。返回:list: 包含插补点坐标的列表。"""points = []x_start, y_start, z_start = start_pointx_end, y_end, z_end = end_point# 计算x、y和z方向上的增量dx = (x_end - x_start) / (num_points - 1)dy = (y_end - y_start) / (num_points - 1)dz = (z_end - z_start) / (num_points - 1)# 生成插补点, 这里的dx，dy，dz就是单位步长，也就是每个插补点之间的间距是恒定的for i in range(num_points):x = x_start + i * dxy = y_start + i * dyz = z_start + i * dzpoints.append((x, y, z))return points# 使用示例
start_point = (0, 0, 0) # 起始点坐标
end_point = (10, 10, 10) # 终止点坐标
num_points = 5 # 生成5个插补点，包括起始点和终止点interpolated_points = linear_interpolation_3d(start_point, end_point, num_points)
print(interpolated_points)2.圆弧插补
1）圆弧插补可以用于生成起点和终点之间的一段圆弧路径。
2）其求解思路如下：
给定起点、终点、圆心坐标==》计算起点与终点间对应圆弧的夹角，其计算公式如下：
==》计算单位步长（角度）
==》计算插值点位置
import numpy as npdef circular_interpolation_3d_with_z(start_point, end_point, center_point, num_points):"""生成从start_point到end_point的三维圆弧插补点，同时考虑Z坐标的线性变化。参数:start_point (tuple): 起始点坐标，格式为(x, y, z)。end_point (tuple): 终止点坐标，格式为(x, y, z)。center_point (tuple): 圆心点坐标，格式为(x, y, z)。num_points (int): 要生成的插补点数量，包括起始点和终止点。返回:list: 包含插补点坐标的列表。"""points = []x_start, y_start, z_start = start_pointx_end, y_end, z_end = end_pointx_center, y_center, z_center = center_point# 计算从圆心到起点和终点的向量vector_start = np.array([x_start - x_center, y_start - y_center])vector_end = np.array([x_end - x_center, y_end - y_center])# 计算圆弧的角度angle = np.arccos(np.dot(vector_start, vector_end) / (np.linalg.norm(vector_start) * np.linalg.norm(vector_end)))# 计算插补点的步长angle_step = angle / (num_points - 1)# 生成插补点，Z采用直线插补，x，y采用圆弧插补for i in range(num_points):t = i * angle_steppoint = (center_point[0] + np.cos(t) * np.linalg.norm(vector_start),center_point[1] + np.sin(t) * np.linalg.norm(vector_start),z_start + i * (z_end - z_start) / (num_points - 1))points.append(point)return points# 使用示例
start_point = (0, 0, 0) # 起始点坐标
end_point = (10, 0, 5) # 终止点坐标
center_point = (5, 0, 2.5) # 圆心点坐标
num_points = 100 # 生成100个插补点，包括起始点和终止点interpolated_points = circular_interpolation_3d_with_z(start_point, end_point, center_point, num_points)# 输出插补点
for point in interpolated_points:print(point)3. Bezier曲线
学习参考资料：贝塞尔(Bezier)曲线与B样条_哔哩哔哩_bilibili
1）贝塞尔曲线是通过一组控制点来定义曲线的形状，这些控制点不仅决定了曲线的起点和终点，还影响曲线的弯曲程度和方向。假设一共有n+1个控制点，就可以确定n次的贝塞尔曲线：
（公式1）
这个式子解开后就是：
其中W表示基，P为控制点坐标
计算W的代码如下：
W = comb(n, i) * (t ** i) * ((1 - t) ** (n - i)) # 形状会与t的一致2）下面这个图共有3个点，可以确定一个2次的贝塞尔曲线，图中可以看出
，t属于[0,1], 用贝塞尔曲线公式（1）表达就是：
以下分别是1次，2次，3次，4次贝塞尔曲线，从图中可以看出贝塞尔曲线的递推关系
3)具体形成Bezier曲线的代码
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import combdef bezier_curve(points, num_points=100):"""计算任意阶数的贝塞尔曲线。:param points: 控制点列表，格式为 [(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)]:param num_points: 要生成的曲线点的数量:return: 一个包含曲线点的数组"""n = len(points) - 1 # 贝塞尔曲线的阶数t = np.linspace(0, 1, num_points) # 参数t从0到1,等间距curve_points = np.zeros((num_points, 2)) # 初始化曲线点数组# 遍历每个控制点，计算贝塞尔曲线的每个点for i in range(len(points)):# 计算基函数，comb（n,i）表示的是C(N,I),这个bernstein参数对应的是基函数W = comb(n, i) * (t ** i) * ((1 - t) ** (n - i)) # 形状会与t的一致curve_points[:, 0] += W * points[i][0] # x坐标curve_points[:, 1] += W * points[i][1] # y坐标return curve_points # 返回值为bezier曲线上的点# 示例：定义一组控制点（可以是任意阶数）
# control_points = [(0, 0), (1, 3), (3, -1), (4, 2), (5, 4)] # 4阶贝塞尔曲线control_points = [(0, 0), (1, 3), (3, -1), (4, 2), (5, 4), (6, 7)] # 5阶贝塞尔曲线# 计算贝塞尔曲线
curve_points = bezier_curve(control_points, num_points=100)# 绘制贝塞尔曲线
plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.plot(curve_points[:, 0], curve_points[:, 1], label="Bezier Curve", color="blue")# 绘制控制点和控制多边形
control_x, control_y = zip(*control_points)
plt.plot(control_x, control_y, "o--", label="Control Points", color="red")# 添加图例和标题
plt.legend()
plt.title("General Bezier Curve")
plt.xlabel("X")
plt.ylabel("Y")
plt.grid(True)
plt.axis("equal")
plt.show()
4.B样条曲线
学习参考资料：贝塞尔(Bezier)曲线与B样条_哔哩哔哩_bilibili
8.5.2 B样条曲线定义（1）_哔哩哔哩_bilibili
1）和Bezier样条一样，B样条也是通过逼近一组控制点来产生的。但是B样条具有两个Bezier样条所不具备的特点：B样条多项式的次数可独立于控制点数目（有一定限制）；B样条允许局部控制曲线或曲面。
2）B样条的相关概念：
控制点：通过控制点可以控制曲线形状，假设有n+1个控制点P0，P1，。。。Pn
节点：认为将目标曲线分为若干个部分，比如m+1个节点t0,t1,...tm，它们可以将曲线划分为m段
次：对于k阶，就是k-1次多项式
3）k次B样条曲线计算方法
B样条曲线的数学表达式如下：
•Pi ：控制多边形的顶点
•K : 多项式的阶数， K 阶， K-1 次
• 
：K阶 B 样条基函数
：K阶 B 样条基函数
4）B样条曲线基函数的定义：
一般采用de Boor-Cox递推定义B样条基函数：即对于k阶（k-1次）B样条，构造一种递推公式，结构如下：
==>定义空间
我做了一个结构图，可以对其结构做一个说明：k阶的基函数可以由两个k-1阶的基函数组成，一个k-1阶的基函数又可以由两个k-2阶的基函数组成，依此类推。这个结构图可以说明如果要确定第i个k阶B样条基函数，需要用到ui，ui+1，.....，ui+k个节点，区间【ui，ui+k】为该基函数的支承区间（只有支承区间，基函数不为零）。
根据上述分析：
即对应ui，ui+1，。。。到ui+k。
可以得到节点空间如下：
这个时候我们会发现，这个节点空间和我们前面的B样条曲线表达式后面提供的定义空间不同，因为我们做了进一步定义空间的选取，以下图k=3，n=4为例，此时共计由8个节点，则每个基函数对应的定义空间如下，我们希望定义区间内包含所有的基函数，则选择定义区间时，我们选择从
（第一个基函数）的最后一个子区间[uk-1，uk]，到
（第n+1个基函数）的第一个区间[un,un+1]，也就是图里面红色框框起来的位置，通过这样的选择方式，我们能够将所有的基函数包括在定义区间里面。因此我们定义区间的选择就是[uk-1，un+1]。
5）B样条代码展示
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 定义二维点类
class Point2D:def __init__(self, x, y):self.x = xself.y = ydef __repr__(self):return f"({self.x}, {self.y})"# 定义B样条曲线类
class BSplineCurve:def __init__(self, control_points, degree, knot_vector=None):"""初始化B样条曲线"""self.control_points = control_points # 控制点坐标self.degree = degree # 多项式阶数self.num_control_points = len(control_points) # 控制点个数# 生成均匀节点向量if knot_vector is None:self.knot_vector = self._generate_uniform_knot_vector()def _generate_uniform_knot_vector(self):"""生成均匀的节点向量，这里为了确保起点和终点落在曲线上做了一个设置"""n = self.num_control_points - 1p = self.degree# 前面重复p+1个0，后面重复p+1个n-p+1# list(range(1,n-p+1))，表示生成从1开始，到n-p的整数列表# 以下共计n+p+1+1个节点，其中p+1是阶数vector = [0] * (p) + list(range(1, n + 2 -p )) +[n-p+2]*(p)print(vector)return vectordef _basis_function(self, i, k, t):"""计算B样条基函数:param i: 控制点索引 :param k: 次数:param t: 参数值 :return: 基函数值"""if k == 1:if self.knot_vector[i] <= t <= self.knot_vector[i+1]:return 1.0 else:return 0.0else:# 以下公式嵌套引用_basis_function（）函数，k逐步递减，直至k=0，可以得到相应的结果demo1=(self.knot_vector[i+k-1] - self.knot_vector[i])if self.knot_vector[i+k-1] != self.knot_vector[i]:coef1 = (t - self.knot_vector[i]) / demo1 * self._basis_function(i, k-1, t)else:coef1=0.0demo2=(self.knot_vector[i+k] - self.knot_vector[i+1])#print(i)if self.knot_vector[i+k] != self.knot_vector[i+1]:coef2 = (self.knot_vector[i+k] - t) / demo2 * self._basis_function(i+1, k-1, t) else:coef2=0.0return coef1 + coef2def calculate_point(self, t):"""计算曲线在参数t处的点:param t: 参数值 t, 范围 [degress-1, num_points]:return: 返回曲线在 t 处的 Point2D 点"""x = 0.0y = 0.0# i 从0-nfor i in range(self.num_control_points):# 计算节点为t，的第i个k阶基函数的结果b = self._basis_function(i, self.degree, t)# 计算t节点对应的b样条曲线上的坐标点x += b * self.control_points[i].xy += b * self.control_points[i].yreturn Point2D(x, y)def generate_curve_points(self, num_points=100):"""生成B样条曲线上的点:param num_points: 生成的曲线上点的数量 :return: 返回点列表，表示B样条曲线"""curve_points = []# 这里的[-self.degree]就是倒着数的k个节点，也就是正着数的n+1个节点，因为总节点数是n+p+2for t in np.linspace(self.knot_vector[self.degree-1], self.knot_vector[-self.degree], num_points):#for t in np.linspace(self.knot_vector[self.degree-1], self.knot_vector[self.num_control_points], num_points):#print(t)curve_points.append(self.calculate_point(t))return curve_points# 使用示例
if __name__ == "__main__":# 定义控制点control_points = [Point2D(1, 1), Point2D(2, 14), Point2D(7, 22), Point2D(9, 39),Point2D(5, 49),Point2D(6, 59),Point2D(10,60)]# 创建B样条曲线对象，阶数为4，次数为3（三次B样条）b_spline_curve = BSplineCurve(control_points, degree=4, knot_vector=None) # 起点和终点为同一个# 生成并输出曲线上的点curve_points = b_spline_curve.generate_curve_points()# 绘制控制点和曲线control_x = [p.x for p in control_points]control_y = [p.y for p in control_points]curve_x = [p.x for p in curve_points]curve_y = [p.y for p in curve_points]#print(curve_x)plt.figure(figsize=(8, 5))plt.plot(control_x, control_y, 'ro--', label='Control Points')plt.plot(curve_x, curve_y, 'b-', label='B-Spline Curve')plt.title('B-Spline Curve')plt.legend()plt.grid()plt.show()这个代码弄了好久，😄，最后发现是里面落了一个等于号，一定要仔细点，嘻嘻
2025.3.6 这几天看了这些方法，花了很多时间，先把这个分享一下，后面再补充其他算法吧！争取这一篇文章把所有的插值、规划方法弄清楚。