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激活函数

特征

• 非线性：激活函数满足非线性时，才不会被单层网络替代，神经网络才有意义
• 可微性：优化器大多数是用梯度下降法更新梯度，如果不可微的话，就不能求导，也不能更新参数
• 单调性：激活函数是单调的，能够保证网络的损失函数是凸函数，更容易收敛

典型例子

sigmod函数

$$\sigma (x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$$
（1）取值范围为（0,1）

• 它可以将一个实数映射到（0,1）的区间，可以用来做二分类。在特征相差比较复杂或者相差不是特别大的时候效果比较好。
• 当x无穷大的时候，函数值趋近于1；当x无穷小的时候，趋近于0。相当于对输入进行了归一化操作。
• 连续可导，0点导函数的值最大，并且两边逐渐减小。

（2）优缺点

• 优点： 平滑、易于求导。
• 缺点：
  1）激活函数计算量大，反向传播求误差的时候，求导涉及到除法，很容易出现梯度消失的情况，从而无法完成深层网络的训练。
  2）x在无穷大或者负无穷小的时候，导数（梯度）为0，即出现了梯度弥散现象（梯度值越来越小）
  3）导数的值在（0,0.25）之间，在多层神经网络中，我们需要对输出层到输入层逐层进行链式求导。这样就导致多个0到0.25之间的小数相乘，造成了结果取0，梯度消失
  4）Sigmoid函数存在幂运算，计算复杂度大，训练时间长
  5）Sigmoid 函数的输出不是 0 均值，并且其导数始终为正，这可能导致后一层神经元接收到的输入信号均值偏离 0，并且梯度的方向可能过于单一。这些问题可能会影响神经网络的训练效率和性能。

理解一下：
如果激活函数的输出不是 0 均值，那么后一层神经元接收到的输入信号的均值也不是 0。这可能会导致网络的每一层的输入分布逐渐偏离 0 均值，从而影响网络的收敛速度和稳定性。

如果输入数据始终是正的，那么在反向传播过程中，梯度的符号可能会始终为正。这可能导致权重更新的方向始终一致，从而减慢收敛速度，甚至导致网络陷入局部最优。

（3）导数

$${\sigma }^{\prime }(x)=\sigma (x)\cdot (1-\sigma (x))=\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x}{)}^2}$$
导数的值在（0,0.25）之间。

tanh函数

更详细的tanh函数解析可见大大link1

$$tanh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$$

(1) 双曲正切函数（双曲余弦除双曲正弦）
当 x 趋近于正无穷时，tanh(x) 趋近于 1；当 x 趋近于负无穷时，tanh(x) 趋近于 -1。
在 x=0 处，tanh(x)=0，并且该点是图像的对称中心。

(2)导数
$$tan{h}^{\prime }(x)=1-(\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}{)}^2=1-tanh(x{)}^2$$
梯度（导数）的取值在(0, 1]之间

(3)特点

• tanh函数输出满足0均值(补上了sigmod的缺点)
• 当tanh(x)接近正负1的时候，导数会趋于0，可能引发梯度消失问题
• 梯度（导数）的取值在(0, 1]之间，最大梯度为1，能够保证梯度在变化过程中不消减，缓解了Sigmoid函数梯度消失的问题
• 存在幂运算，计算量大
• 在时间序列建模、情感分析和回归任务中，表现出色。

（4）与sigmod关系
$$tanh(x)=2\cdot sigmod(2x)-1$$

补充：零中心化输出优势

• 权重更新更高效：
  零中心化意味着正负输出值的对称性，这让权重的正负变化更加平衡，避免了像 Sigmoid 那样总是向一个方向偏移。
  梯度更新时不容易产生偏移，从而加快收敛速度。

• 适合对称分布的数据：
  如果输入数据经过标准化（均值为 0），tanh的输出能更好地保持对称性，从而与数据的分布更加匹配。

• 减小梯度爆炸风险：
  零中心化输出有助于稳定梯度传播，避免因输出值过于偏向正值或负值而导致的梯度爆炸问题。

非线性特性如何提升神经网络表现

• 引入非线性能力：
  如果没有激活函数，神经网络的每一层只能执行线性运算（矩阵乘法和加法），即便网络很深，最终的输出仍是线性变换，无法解决复杂的非线性问题。
  tanh将输入数据通过非线性映射变换为[−1,1]，使网络能够学习复杂的特征模式。
• 对中间特征的放大与压缩 :
  在[−2,2]的输入范围内，tanh 对输入值的变化较为敏感，能放大特征差异，从而更好地捕捉细节信息。
  对于极值输入（非常大或非常小的值）tanh 将输出压缩到接近-1或1，起到了正则化的作用，避免过拟合。
• 平滑的梯度变化：
  tanh 是一个平滑的函数，其导数在大多数区间内都较为稳定。这让网络能够更平稳地调整权重，尤其是在处理非平滑输入时。