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常见算法的时间复杂度与空间复杂度
- 一、 常见排序算法
- 二、 查找算法
- 三、 图算法
- 四、 动态规划算法
- 五、 查找树
- 总结：
一、 常见排序算法
-
冒泡排序 (Bubble Sort)
- 时间复杂度：
- 最优：O(n)
- 平均：O(n²)
- 最差：O(n²)
- 空间复杂度：O(1)
- 解释：冒泡排序每次比较相邻的元素，若逆序则交换，直到所有元素有序。
- 时间复杂度：
-
选择排序 (Selection Sort)
- 时间复杂度：
- 最优：O(n²)
- 平均：O(n²)
- 最差：O(n²)
- 空间复杂度：O(1)
- 解释：选择排序每次从剩余元素中选择最小（大）元素放到已排序部分。
- 时间复杂度：
-
插入排序 (Insertion Sort)
- 时间复杂度：
- 最优：O(n)
- 平均：O(n²)
- 最差：O(n²)
- 空间复杂度：O(1)
- 解释：将当前元素插入已排序的序列，适合小数据集。
- 时间复杂度：
-
归并排序 (Merge Sort)
- 时间复杂度：
- 最优：O(n log n)
- 平均：O(n log n)
- 最差：O(n log n)
- 空间复杂度：O(n)
- 解释：使用分治法，将数组分成两部分递归排序并合并。
- 时间复杂度：
-
快速排序 (Quick Sort)
- 时间复杂度：
- 最优：O(n log n)
- 平均：O(n log n)
- 最差：O(n²)
- 空间复杂度：O(log n)
- 解释：选择一个基准元素，划分数组，再递归排序。
- 时间复杂度：
二、 查找算法
-
线性查找 (Linear Search)
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(1)
- 解释：逐个检查元素，适合无序列表。
-
二分查找 (Binary Search)
- 时间复杂度：
- 最优：O(1)
- 平均：O(log n)
- 最差：O(log n)
- 空间复杂度：O(1)
- 解释：要求输入数据是有序的，通过每次将数据范围缩小一半来查找。
- 时间复杂度：
三、 图算法
-
广度优先搜索 (BFS)
- 时间复杂度：O(V + E)（V是顶点数，E是边数）
- 空间复杂度：O(V)
- 解释：通过队列实现，逐层遍历图的节点。
-
深度优先搜索 (DFS)
- 时间复杂度：O(V + E)
- 空间复杂度：O(V)
- 解释：通过栈（递归调用）逐深度遍历图的节点。
-
Dijkstra 算法（最短路径）
- 时间复杂度：
- 使用数组：O(V²)
- 使用堆：O((V + E) log V)
- 空间复杂度：O(V)
- 解释：寻找单源最短路径，适用于权重非负的图。
- 时间复杂度：
四、 动态规划算法
-
斐波那契数列 (Fibonacci Sequence)
- 时间复杂度：
- 递归：O(2^n)
- 动态规划：O(n)
- 空间复杂度：
- 递归：O(n)
- 动态规划：O(n)
- 解释：通过递归或记忆化动态规划来计算。
- 时间复杂度：
-
背包问题 (Knapsack Problem)
- 时间复杂度：O(nW)（n是物品数，W是背包容量）
- 空间复杂度：O(nW)
- 解释：通过动态规划来解决给定重量限制下的最优选择问题。
五、 查找树
-
二叉搜索树 (Binary Search Tree, BST)
- 时间复杂度：
- 查找：O(h)（h是树的高度）
- 插入/删除：O(h)
- 空间复杂度：O(n)
- 解释：按顺序查找树中的元素，树高决定性能。
- 时间复杂度：
-
红黑树 (Red-Black Tree)
- 时间复杂度：
- 查找：O(log n)
- 插入/删除：O(log n)
- 空间复杂度：O(n)
- 解释：自平衡二叉搜索树，保证树高在O(log n)内。
- 时间复杂度：
总结：
| 算法 | 最优时间复杂度 | 平均时间复杂度 | 最差时间复杂度 | 空间复杂度 |
|---|---|---|---|---|
| 冒泡排序 (Bubble Sort) | O(n) | O(n²) | O(n²) | O(1) |
| 选择排序 (Selection Sort) | O(n²) | O(n²) | O(n²) | O(1) |
| 插入排序 (Insertion Sort) | O(n) | O(n²) | O(n²) | O(1) |
| 归并排序 (Merge Sort) | O(n log n) | O(n log n) | O(n log n) | O(n) |
| 快速排序 (Quick Sort) | O(n log n) | O(n log n) | O(n²) | O(log n) |
| 线性查找 (Linear Search) | O(n) | O(n) | O(n) | O(1) |
| 二分查找 (Binary Search) | O(1) | O(log n) | O(log n) | O(1) |
| BFS (广度优先搜索) | O(V + E) | O(V + E) | O(V + E) | O(V) |
| DFS (深度优先搜索) | O(V + E) | O(V + E) | O(V + E) | O(V) |
| Dijkstra 算法 | O((V + E) log V) | O((V + E) log V) | O((V + E) log V) | O(V) |
| 斐波那契数列 (Fibonacci) | O(n) | O(n) | O(2^n) | O(n) |
| 背包问题 (Knapsack) | O(nW) | O(nW) | O(nW) | O(nW) |
| 二叉搜索树 (BST) | O(h) | O(h) | O(h) | O(n) |
| 红黑树 (Red-Black Tree) | O(log n) | O(log n) | O(log n) | O(n) |