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数组如下:
[5,7,7,8,8,10]
问题：
返回有序数组中第一个>=8的数的位置,如果所有数都<8,返回数组长度
暴力做法:
遍历每个数, 询问它是否>=8 ？显然时间复杂度是O(n)
高效做法:
L和R分别指向询问的左右边界，即闭区间[L,R]，M指向当前正在询问的数 (L=0, R=n-1)
5 7 7 8 8 10
L M R
观察上图我们很容易得出以下两个结论:
- 如果当前数是小于8, 由于数组是有序的, 那么当前数和当前数左边的所有数, 都是<8的
- 如果当前数是大于等于8, 由于数组是有序的, 那么当前数和当前数右边的所有数, 都是>=8的
如果当前数组长度是偶数的话,中间那个数的下标为(L+R)/2,
由于C++/JAVA中"/"是下取整的,所以此时的中位数是中间靠左的那个数
如果当前数组长度是奇数的话,中间那个数的下标为(L+R)/2,此时就是正中间的那个数第二次查询->将L更新为M+1的位置
5 7 7 8 8 10L M R
对于为啥不能将L更新为M?
这是因为我们每时每刻都是在闭区间上进行处理的,如果把L改成M,那就是左开右闭区间了.
当数组中只有一个元素时,8
L,R
你把R更新成M，那不就死循环了吗
因为arr[4]=8>=8,所以继续执行第三次查询
第三次查询->将R更新M-1
5 7 7 8 8 10LR
arr((L+R)/2)>=8
第三次查询->将R更新M-1
5 7 7 8 8 10R L
其实我们不难看出,在循环过程中,L左侧的数都是<8的,R右侧的数都是>=8的
循环不变量: L-1始终是<8,R+1始终是>=8
所以在循环结束时，R+1是我们要找的答案,由于循环结束后R+1=L,所以答案也可以用L表示
题目：在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
原题链接：34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置 - 力扣（LeetCode）
题目描述： 给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。
如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。
你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。
示例 1：
输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出：[3,4]
示例 2：
输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出：[-1,-1]
示例 3：
输入：nums = [], target = 0
输出：[-1,-1]
按上述的思路实现(闭区间)
int lower_bound(vector<int>& nums,int target){int left=0; int right=nums.size()-1;while(left<=right){int mid=left+(right-left)/2;if(nums[mid]<target){left=mid+1;}else{right=mid-1;} }return right+1; //return left
}
左闭右开区间的写法
5 7 7 8 8 10
L R
此时右边界初始为6
此时上述的第三次查询,更新R=M-1时,就可以修改成R=M了
5 7 7 8 8 10LR
此时循环的截止条件就变为left<right,同时left==right时截止
int lower_bound2(vector<int>&nums,int target){int left=0; int right=nums.size();while(left<right){int mid=left+(right-left)/2;if(nums[mid]<target){left=mid+1; //[mid+1,right]}else{right=mid; //[left,mid)}}return left; //循环结束时,left==right
}
开区间的写法5 7 7 8 8 10L R
L和R分别初始化为-1和65 7 7 8 8 10
L M R
第一次查询后,L更新为M5 7 7 8 8 10
L M M1 R
第二次查询后,R更新到M1
同时最后终止条件就变成了
5 7 7 8 8 10L R
此时(L,R)内就没有任何元素了
所以最后R就是指向答案的
终止条件的话,L+1=R
//开区间的写法
int lower_bound3(vector<int> &nums, int target) {int left = -1, right = nums.size(); // 开区间 (left, right)while (left + 1 < right) { // 区间不为空int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] < target) {left = mid; // 范围缩小到 (mid, right)} else {right = mid; // 范围缩小到 (left, mid)}// 也可以这样写// (nums[mid] < target ? left : right) = mid;}return right;
}
补充: 原问题是返回有序数组中第一个>=8的数的位置,如果问题改成>8/<8/<=8,那该如何解决呢?
">" 可以看成找>=8+1=9 的情况
"<" 可以看成找>=8左边那个数 的情况 => 找到>=8的索引然后减1
"<=" 可以看成找>8左边那个数 的情况 => 找到>8的索引然后减1
以上就是所有在有序数组中进行二分查找的情况
最后我们来解决上述题目
class Solution {
public://闭区间的写法int lower_bound(vector<int>& nums,int target){int left=0; int right=nums.size()-1;while(left<=right){int mid=left+(right-left)/2;if(nums[mid]<target){left=mid+1;}else{right=mid-1;} }return right+1;}//开区间的写法int lower_bound3(vector<int> &nums, int target) {int left = -1, right = nums.size(); // 开区间 (left, right)while (left + 1 < right) { // 区间不为空// 循环不变量：// nums[left] < target// nums[right] >= targetint mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] < target) {left = mid; // 范围缩小到 (mid, right)} else {right = mid; // 范围缩小到 (left, mid)}// 也可以这样写// (nums[mid] < target ? left : right) = mid;}return right;}//[A,B) 区间的写法int lower_bound2(vector<int>&nums,int target){int left=0; int right=nums.size();while(left<right){int mid=left+(right-left)/2;if(nums[mid]<target){left=mid+1; //[mid+1,right]}else{right=mid; //[left,mid)}}return left; //循环结束时,left==right}vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {int start=lower_bound(nums,target);if(start==nums.size()||nums[start]!=target){return {-1,-1}; //nums数组中没有target}//如果start 存在,那么end必定存在int end=lower_bound(nums,target+1)-1;return {start,end};}
};
start=nums.size()是left不断向右进行移动,当L=R+1,L>R终止,R其实是一直都没有移动
例子如下:
1 2 3 4 5 6 7 找>=8的数
start返回的是>=target的位置,end返回的是<=target+1的位置
根据上面提到的,<=target的情况,可以转换成找>=target+1,即lower_bound(nums,target+1), 最后再-1,就为lower_bound(nums,target+1)-1
时间复杂度的计算
每次折半就代表了一次查询,假设我们经过k次找到目标元素,n代表nums数组中元素的个数,所以n/pow(2,k)=1,k=logn