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题目描述
给定一个长度为n的整型数组，表示一个选手在n轮内可选择的牌面分数。选手基于规则选牌，
请计算所有轮结束后其可以获得的最高总分数。
选择规则如下：
- 在每轮里选手可以选择获取该轮牌面，则其总分数加上该轮牌面分数，为其新的总分数。
- 选手也可不选择本轮牌面直接跳到下一轮，此时将当前总分数还原为3轮前的总分数，若当前轮次小于等于3（即在第1、2、3轮选择跳过轮次），则总分数置为0。
- 选手的初始总分数为0，且必须依次参加每一轮。
输入描述
第一行为一个小写逗号分割的字符串，表示n轮的牌面分数，1<= n <=20。
分数值为整数，-100 <= 分数值 <= 100。
不考虑格式问题。
输出描述
所有轮结束后选手获得的最高总分数。
用例
| 输入 | 1,-5,-6,4,3,6,-2 |
| 输出 | 11 |
| 说明 | 无 |
动态规划解选手选牌问题：从暴力到优化
一、核心解题思路
这道题目描述了一个选手在多轮游戏中选牌的规则，我们需要计算选手能获得的最高总分数。题目有两个关键规则：
- 选择获取当前牌：总分数加上当前轮次的牌面分数
- 选择跳过当前轮：总分数还原到3轮前的状态（如果不足3轮则置为0）
作为初学者，我们可以采用动态规划（Dynamic Programming）的方法来解决这个问题。动态规划特别适合这种有重叠子问题和最优子结构的问题。
为什么选择动态规划？
- 问题可以分解：每一轮的选择只依赖于前面有限轮次的结果
- 有重叠子问题：计算某一轮的最高分数可能会重复使用前面轮次的结果
- 需要做最优决策：每一轮都要选择是拿牌还是跳过，以最大化最终分数
基本思路
我们可以定义一个dp数组，其中dp[i]表示进行到第i轮时能获得的最大分数。对于每一轮i，我们有两种选择：
- 拿当前牌：
dp[i] = dp[i-1] + current_score - 跳过当前轮：
dp[i] = dp[i-3]（如果i>=3），否则为0
然后我们取这两种选择中的较大值作为dp[i]的值。
二、完整代码实现
def max_score(cards):n = len(cards)if n == 0:return 0# 初始化dp数组，dp[i]表示前i轮能获得的最大分数dp = [0] * (n + 1)for i in range(1, n + 1):# 选择拿当前牌take = dp[i-1] + cards[i-1]# 选择跳过当前牌if i >= 3:skip = dp[i-3]else:skip = 0# 取两种选择中的较大值dp[i] = max(take, skip)return dp[n]# 处理输入输出
input_str = input().strip()
cards = list(map(int, input_str.split(',')))
print(max_score(cards))
三、算法原理解析
动态规划状态转移
我们的动态规划状态转移方程可以表示为：
dp[i] = max(dp[i-1] + cards[i-1], # 选择拿当前牌dp[i-3] if i >= 3 else 0 # 选择跳过当前牌
)
其中：
dp[i-1] + cards[i-1]表示如果选择拿当前牌，那么最大分数就是前一轮的最大分数加上当前牌的分数dp[i-3]（当i>=3时）表示如果选择跳过当前牌，那么最大分数会回退到3轮前的状态
时间复杂度分析
- 我们需要遍历所有n轮
- 每轮的计算是常数时间O(1)
- 因此总时间复杂度是O(n)
空间复杂度分析
- 我们使用了一个长度为n+1的dp数组
- 因此空间复杂度是O(n)
- 可以优化到O(1)的空间，因为我们只需要保存前3轮的结果
四、示例解析
让我们用题目给出的示例来一步步解析：
输入：1,-5,-6,4,3,6,-2
牌面数组：[1, -5, -6, 4, 3, 6, -2]
初始化：dp = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
逐步计算：
-
第1轮（牌=1）：
- 拿牌：dp + 1 = 0 + 1 = 1
- 跳过：0（因为i=1 < 3）
- dp = max(1, 0) = 1
-
第2轮（牌=-5）：
- 拿牌：dp + (-5) = 1 - 5 = -4
- 跳过：0（因为i=2 < 3）
- dp = max(-4, 0) = 0
-
第3轮（牌=-6）：
- 拿牌：dp + (-6) = 0 - 6 = -6
- 跳过：0（因为i=3 == 3，dp=0）
- dp = max(-6, 0) = 0
-
第4轮（牌=4）：
- 拿牌：dp + 4 = 0 + 4 = 4
- 跳过：dp = 1
- dp = max(4, 1) = 4
-
第5轮（牌=3）：
- 拿牌：dp + 3 = 4 + 3 = 7
- 跳过：dp = 0
- dp = max(7, 0) = 7
-
第6轮（牌=6）：
- 拿牌：dp + 6 = 7 + 6 = 13
- 跳过：dp = 0
- dp = max(13, 0) = 13
-
第7轮（牌=-2）：
- 拿牌：dp + (-2) = 13 - 2 = 11
- 跳过：dp = 4
- dp = max(11, 4) = 11
最终结果：dp = 11
五、总结
通过这个题目，我们学习了如何用动态规划解决有选择决策的问题。关键点包括：
- 定义状态：明确dp[i]表示什么
- 状态转移方程：如何从之前的状态推导当前状态
- 边界条件：处理初始状态和特殊情况
- 空间优化：可以只保存必要的状态来减少空间使用
对于初学者来说，动态规划可能看起来有些抽象，但通过多练习类似的题目，你会逐渐掌握这种强大的解题技巧。记住：
- 先尝试用递归思路理解问题
- 然后找出重叠子问题
- 最后用数组或变量存储中间结果避免重复计算
这个问题的变种可能包括改变跳过的轮数（比如跳过1轮或2轮），或者改变跳过后的分数计算规则。理解基础版本后，你可以尝试解决这些变种问题来巩固你的动态规划技能。