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一、刚体运动学数学描述

1.1 三维空间位姿表示

刚体在三维空间中的运动由平动与转动复合而成。定义：

• ​质心位置：$\mathbf{x}(t)\in {\mathbb{R}}^3$
• ​方向四元数：$\mathbf{q}(t)=[w,x,y,z]\in \mathbb{H}$

四元数满足约束条件：
$$w^2+x^2+y^2+z^2=1$$
其优势体现在：

1. 避免欧拉角的万向节锁问题
2. 相比旋转矩阵更紧凑（4个参数 vs 9个参数）

1.2 速度场分解

刚体速度场可分解为：

• ​线速度：$\mathbf{v}=\frac{d\mathbf{x}}{dt}$
• ​角速度：$\mathbf{\omega }=2\frac{d\mathbf{q}}{dt}{\mathbf{q}}^{\ast }$

其中四元数导数与角速度的关系为：
$$\frac{d\mathbf{q}}{dt}=\frac{1}{2}{\mathbf{\omega }}_q\otimes \mathbf{q}$$
${\mathbf{\omega }}_q$为角速度的纯四元数形式：$[0,{\omega }_x,{\omega }_y,{\omega }_z]$

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二、刚体动力学方程

2.1 牛顿-欧拉方程体系

2.1.1 平动动力学

由牛顿第二定律可得：
$$\mathbf{F}=\frac{d(m\mathbf{v})}{dt}=m\dot{\mathbf{v}}+\mathbf{\omega }\times (m\mathbf{v})$$
其中质量$m$在刚体运动中保持恒定

2.1.2 转动动力学

在局部坐标系下，欧拉方程为：
$$\mathbf{\tau }=\mathbf{I}\dot{\mathbf{\omega }}+\mathbf{\omega }\times (\mathbf{I}\mathbf{\omega })$$
惯性张量$\mathbf{I}$的坐标系转换关系：
$${\mathbf{I}}_{world}=\mathbf{R}{\mathbf{I}}_{local}{\mathbf{R}}^T$$
$\mathbf{R}$为当前朝向的旋转矩阵

2.2 惯性张量计算

对于均匀密度的立方体（边长$a,b,c$）：
$$\mathbf{I}=\frac{m}{12}[\begin{array}{c}{b}^2+c^2\\ 0\\ 0\end{array}$$