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内容来源

非参数统计（第2版）

清华大学出版社

王星 褚挺进 编著

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符号秩检验

在符号检验的基础上，增加了数据绝对值大小的信息

检验统计量

用一个简单的例子来说明

样本数据 $X_i,i=1,\cdots ,6$ 如下

$$X_1=9,X_2=13,X_3=-7,X_4=10,X_5=-13,X_6=4$$

取绝对值后排序得

$$|X_6|=4,|X_3|=7,|X_1|=9,|X_4|=10,|X_2|=13,|X_5|=13$$

所以各样本的秩为

$$R_1=3,R_2=5.5,R_3=2,R_4=4,R_5=5.5,R_6=1$$

$2$ 和 $5$ 绝对值相同，秩取平均

用 $S(x)$ 表示示性函数 $I(x>0)$，有

$$S(X_1)=1,S(X_2)=1,S(X_3)=0,S(X_4)=1,S(X_5)=0,S(X_6)=1$$

定义 $W^{+}=\sum R_{i}S(X_i)$

在这个例子中 $W^{+}=3+5.5+4+1=13.5$

把示性函数反过来，得 $W^{-}=2+5.5=7.5$

与符号检验类似，在双边检验时的检验统计量是

$$W=\min (W^{+},W^{-})$$

在零假设下的分布

如果零假设成立，每个样本点为正为负的概率相同

$n$ 个样本点相互独立，得总体的矩母函数

$$M_n(t)=\frac{1}{2^n}\prod _{i=1}^n(1+e^{ti})$$