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2845. 统计趣味子数组的数目

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums ，以及整数 modulo 和整数 k 。
请你找出并统计数组中 趣味子数组 的数目。
如果 子数组 nums[l…r] 满足下述条件，则称其为 趣味子数组 ：
在范围 [l, r] 内，设 cnt 为满足 nums[i] % modulo == k 的索引 i 的数量。并且 cnt % modulo == k 。
以整数形式表示并返回趣味子数组的数目。
注意：子数组是数组中的一个连续非空的元素序列。
示例 1：
输入：nums = [3,2,4], modulo = 2, k = 1
输出：3
解释：在这个示例中，趣味子数组分别是：
子数组 nums[0…0] ，也就是 [3] 。
-在范围 [0, 0] 内，只存在 1 个下标 i = 0 满足 nums[i] % modulo == k 。
-因此 cnt = 1 ，且 cnt % modulo == k 。
子数组 nums[0…1] ，也就是 [3,2] 。
-在范围 [0, 1] 内，只存在 1 个下标 i = 0 满足 nums[i] % modulo == k 。
-因此 cnt = 1 ，且 cnt % modulo == k 。
子数组 nums[0…2] ，也就是 [3,2,4] 。
-在范围 [0, 2] 内，只存在 1 个下标 i = 0 满足 nums[i] % modulo == k 。
-因此 cnt = 1 ，且 cnt % modulo == k 。
可以证明不存在其他趣味子数组。因此，答案为 3 。
示例 2：
输入：nums = [3,1,9,6], modulo = 3, k = 0
输出：2
解释：在这个示例中，趣味子数组分别是：
子数组 nums[0…3] ，也就是 [3,1,9,6] 。
-在范围 [0, 3] 内，只存在 3 个下标 i = 0, 2, 3 满足 nums[i] % modulo == k 。
-因此 cnt = 3 ，且 cnt % modulo == k 。
子数组 nums[1…1] ，也就是 [1] 。
-在范围 [1, 1] 内，不存在下标满足 nums[i] % modulo == k 。
-因此 cnt = 0 ，且 cnt % modulo == k 。
可以证明不存在其他趣味子数组，因此答案为 2 。
提示：
1 <= nums.length <= 105
1 <= nums[i] <= 109
1 <= modulo <= 109
0 <= k < modulo

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题解

这道题的关键是转换趣味数组的条件

设 cnt 为满足 nums[i] % modulo == k 的索引 i 的数量。并且 cnt % modulo == k

注意到，对于 nums 中的数据，我们只关心其是否 %modulok
不妨令 nums 中 %modulok 的数据为 1，其余为 0
那么趣味数组的条件就转换为：子数组的和 % modulo == k

子数组的和很自然就是用前缀和记录
用数组 arr[ i ] 记录 nums 从 0 到 i 之和
任意边界为 [l,r] (l<=r) 的子数组之和即为：arr[r] - arr[l] + nums[l]
那么条件转换为：(arr[r] - arr[l] + nums[l]) % modulo == k

接下来就是对这个式子进行巧妙的转换

由于 k < modulo，则 k==k % modulo
(arr[r] - arr[l] + nums[l]) % modulo == k % modulo
arr[r] - arr[l] + nums[l] 与 k 同余！

同余的相关内容可以看【国际数学竞赛】同余理论(Modulo)

根据同余的性质式子又可以转换为
(arr[r] - k) % modulo == (arr[l] - nums[l]) % modulo（移项）
这就是最终的式子
通过一大番功夫，我们将 r 和 l 移到了式子两边，这样我们就可以枚举 r ，用数组 s 不断记录并维护 r 自身即左边的所有 (arr[l] - nums[l]) % modulo 的个数。对于每一个 r ，满足条件的左边界个数即为 s[(arr[r] - k) % modulo]

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代码如下↓

class Solution {
public:long long countInterestingSubarrays(vector<int>& nums, int modulo, int k) {vector<int> arr;//arr是前缀和int sum=0;for(int i=0;i<nums.size();i++){if(nums[i]%modulo==k){nums[i]=1;sum++;}else{nums[i]=0;}//转换成01，这样就变成统计 和 %mod 为 k 的子数组arr.push_back(sum);}//就是找 (arr[j] - arr[i]+nums[i]) % mod == k//等价于 (arr[j] - arr[i]+nums[i]) % mod == k%mod//同余//(arr[j] - k)%mod == (arr[i] - nums[i])% mod (i<=j)//这样就枚举j，统计左边有多少 arr[i] % mod 与之相等即可//(arr[i] - nums[i])% mod 可以一边枚举 j 一边维护，O(N)!int n=nums.size();vector<int> s(min(modulo,n+1));long long res=0;for(int i=0;i<arr.size();i++){int x=(arr[i] - k)%modulo;//哇，小心 arr[i]-k < 0if(x<0){s[(arr[i]-nums[i])%modulo]++;continue;}s[(arr[i]-nums[i])%modulo]++;res+=s[x];}return res;}
};