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【8】递归之经典题型总结

news 2025/7/8 7:48:48

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文章目录

  • Java递归全面总结
    • 一、递归基础概念
    • 二、递归注意事项（⚠️重点）
    • 三、经典递归问题
      • 1. 阶乘计算
      • 2. 斐波那契数列（优化版）
      • 3. 汉诺塔问题
      • 4. 二叉树前序遍历
      • 5. 全排列问题
      • 6. 快速排序（分治递归）
      • 7. 反转字符串
      • 8. 最大公约数（欧几里得算法）
    • 四、递归问题解决通用模板：
    • 五、递归优化技巧
    • 六、递归应用场景
    • 七、递归思维训练建议

Java递归全面总结

一、递归基础概念

  1. 定义：

    • 方法直接或间接调用自身的过程
    • 必须包含递归条件和基线条件

  2. 核心要素：

    • 递归条件（Recursive Case）：方法继续调用自身的条件
    • 基线条件（Base Case）：终止递归的条件

  3. 执行原理：

    public void recursiveMethod(int n) {
    if (n <= 0) {  // 基线条件
        return;
    }
    System.out.println(n);
    recursiveMethod(n-1);  // 递归条件
}

  4. 内存机制：

    • 每次递归调用都会在栈内存中创建新的栈帧
    • 栈深度过大时会导致StackOverflowError（典型深度约5000-7000层）

二、递归注意事项（⚠️重点）

  1. 必须要有终止条件：否则无限递归导致栈溢出
  2. 递归深度控制：对于大数据量问题，考虑改用循环
  3. 重复计算问题：如斐波那契数列的朴素递归效率极低
  4. 空间复杂度：递归调用栈会消耗额外内存
  5. 尾递归优化：Java不支持自动优化，但可手动实现

三、经典递归问题

1. 阶乘计算

解题思路：

  1. 基线条件：1的阶乘是1
  2. 递归关系：n! = n × (n-1)!
  3. 逐步拆解问题直到达到基线条件
/**
 * 计算n的阶乘
 * @param n 要计算阶乘的数字
 * @return n的阶乘结果
 */
public static int factorial(int n) {
    // 基线条件：1的阶乘为1
    if (n == 1) return 1;
    
    // 递归条件：n! = n * (n-1)!
    return n * factorial(n - 1);
}
// 示例：factorial(5) → 120

2. 斐波那契数列（优化版）

解题思路：

  1. 基线条件：F(0)=0，F(1)=1
  2. 递归关系：F(n) = F(n-1) + F(n-2)
  3. 使用备忘录避免重复计算
// 备忘录数组
static int[] memo = new int[100];

public static int fibonacci(int n) {
    // 基线条件
    if (n <= 1) return n;
    
    // 检查是否已计算过
    if (memo[n] != 0) return memo[n];
    
    // 递归计算并存储结果
    memo[n] = fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2);
    return memo[n];
}
// 示例：fibonacci(10) → 55

3. 汉诺塔问题

解题思路：

  1. 将n个盘子从A移到C =
    • 先把n-1个从A移到B（借助C）
    • 移动第n个到C
    • 把n-1个从B移到C（借助A）
  2. 最小规模问题：1个盘子直接移动
public static void hanoi(int n, char from, char to, char aux) {
    // 基线条件：只剩一个盘子
    if (n == 1) {
        System.out.println("移动盘子 1 从 " + from + " 到 " + to);
        return;
    }
    
    // 将n-1个盘子移到辅助柱
    hanoi(n-1, from, aux, to);
    
    // 移动最下面的盘子
    System.out.println("移动盘子 " + n + " 从 " + from + " 到 " + to);
    
    // 将n-1个盘子移回目标柱
    hanoi(n-1, aux, to, from);
}
// 示例：hanoi(3, 'A', 'C', 'B')

4. 二叉树前序遍历

解题思路：

  1. 访问根节点
  2. 递归遍历左子树
  3. 递归遍历右子树
  4. 基线条件：节点为null时返回
class TreeNode {
    int val;
    TreeNode left;
    TreeNode right;
}

public static void preOrder(TreeNode root) {
    // 基线条件：空树
    if (root == null) return;
    
    // 1. 访问根节点
    System.out.print(root.val + " ");
    
    // 2. 递归遍历左子树
    preOrder(root.left);
    
    // 3. 递归遍历右子树
    preOrder(root.right);
}
// 示例输出：根 → 左 → 右

5. 全排列问题

解题思路：

  1. 固定第一个位置，递归求后面所有排列
  2. 通过交换元素实现不同排列
  3. 基线条件：start到达数组末尾
public static void permute(int[] nums, int start) {
    // 基线条件：已处理完所有元素
    if (start == nums.length - 1) {
        System.out.println(Arrays.toString(nums));
        return;
    }
    
    for (int i = start; i < nums.length; i++) {
        // 交换元素到当前位置
        swap(nums, start, i);
        
        // 递归生成后续排列
        permute(nums, start + 1);
        
        // 恢复原始顺序（回溯）
        swap(nums, start, i);
    }
}

private static void swap(int[] arr, int i, int j) {
    int temp = arr[i];
    arr[i] = arr[j];
    arr[j] = temp;
}
// 示例：permute([1,2,3], 0)

6. 快速排序（分治递归）

解题思路：

  1. 选择基准元素（pivot）
  2. 将数组分为小于和大于基准的两部分
  3. 递归排序两个子数组
  4. 基线条件：数组长度<=1
public static void quickSort(int[] arr, int low, int high) {
    // 基线条件：子数组长度为0或1
    if (low < high) {
        // 获取分区点
        int pi = partition(arr, low, high);
        
        // 递归排序左半部分
        quickSort(arr, low, pi - 1);
        
        // 递归排序右半部分
        quickSort(arr, pi + 1, high);
    }
}

private static int partition(int[] arr, int low, int high) {
    int pivot = arr[high];
    int i = low - 1;
    
    for (int j = low; j < high; j++) {
        if (arr[j] < pivot) {
            i++;
            swap(arr, i, j);
        }
    }
    
    swap(arr, i + 1, high);
    return i + 1;
}
// 示例：quickSort(arr, 0, arr.length-1)

7. 反转字符串

解题思路：

  1. 基线条件：空字符串或单字符
  2. 递归关系：reverse(s) = reverse(s.substring(1)) + s.charAt(0)
  3. 逐步将首字符移到末尾
public static String reverse(String s) {
    // 基线条件：空串或单字符
    if (s.isEmpty()) return s;
    
    // 递归反转：首字符放到最后
    return reverse(s.substring(1)) + s.charAt(0);
}
// 示例：reverse("hello") → "olleh"

8. 最大公约数（欧几里得算法）

解题思路：

  1. 基线条件：b为0时返回a
  2. 递归关系：gcd(a,b) = gcd(b, a%b)
  3. 基于数学定理的优雅解法
public static int gcd(int a, int b) {
    // 基线条件：余数为0
    if (b == 0) return a;
    
    // 递归计算gcd(b, a mod b)
    return gcd(b, a % b);
}
// 示例：gcd(48, 18) → 6

四、递归问题解决通用模板：

  1. 定义基线条件：最简单情况直接返回结果
  2. 分解问题：将大问题拆解为相似小问题
  3. 递归调用：用更小规模参数调用自身
  4. 合并结果：将小问题的解组合成大问题的解

复杂度对比表：

问题时间复杂度空间复杂度优化方法
阶乘O(n)O(n)尾递归改写
斐波那契O(2^n)→O(n)O(n)备忘录/动态规划
汉诺塔O(2^n)O(n)无（问题本质决定）
二叉树遍历O(n)O(h)莫里斯遍历
全排列O(n!)O(n)堆算法

注：实际开发中应优先考虑迭代解法，递归更适合表达清晰的算法逻辑。对于深度可能超过1000层的问题，建议使用栈模拟递归或改用动态规划。

五、递归优化技巧

  1. 备忘录法（记忆化搜索）：

    // 斐波那契优化示例
static int[] memo = new int[100];
public static int fib(int n) {
    if (n <= 1) return n;
    if (memo[n] != 0) return memo[n];
    memo[n] = fib(n-1) + fib(n-2);
    return memo[n];
}

  2. 尾递归改写：

    // 阶乘的尾递归版本
public static int factorialTail(int n, int accumulator) {
    if (n == 1) return accumulator;
    return factorialTail(n-1, n * accumulator);
}

  3. 改迭代实现：

    // 斐波那契迭代版

六、递归应用场景

  1. 树形结构操作：二叉树遍历、文件系统遍历
  2. 分治算法：归并排序、快速排序
  3. 回溯算法：八皇后问题、数独求解
  4. 动态规划：背包问题（记忆化搜索实现）
  5. 数学问题：组合计算、泰勒展开

七、递归思维训练建议

  1. 从简单案例入手（如阶乘、斐波那契）
  2. 画递归调用树理解执行流程
  3. 使用IDE调试功能观察调用栈变化
  4. 先写基线条件，再写递归条件
  5. 注意参数在递归过程中的变化规律
http://www.dtcms.com/a/99031.html

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