当前位置：首页 > news >正文

蓝桥杯-特殊的多边形（dfs/前缀和）

news 来源：原创 2025/4/30 21:45:58

假设一个 n边形 n 条边为 a1,a2,a3,⋯,an定义该 nn 边形的值 v=a1×a2×a3×⋯×an

定义两个 n边形不同是指至少有一条边的长度在一个 nn 边形中有使用而另一个 nn 边形没有用到，如 n 边形 (3,4,5,6) 和 (3,5,4,6) 是两个相同的 n 边形，(3,4,5,6) 和 (4,5,6,7) 是两个不相同的 n 边形。

现在有t 和 n，表示 t 个询问并且询问的是 n 边形，每个询问给定一个区间 [l,r]，问有多少个 n 边形（要求该 n 边形自己的 n 条边的长度互不相同）的值在该区间范围内。

输入格式

第一行包含两个正整数 t、n，表示有 t 个询问，询问的是 n 边形。

接下来 t 行，每行有两个空格隔开的正整数 l、r，表示询问区间 [l,r]。

输出格式

输出共 t 行，第 i 行对应第 i 个查询的 n 边形个数。

样例输入

样例输出

整体思路

整体思路是先通过深度优先搜索（DFS）生成所有可能的 n 边形，统计每个边值出现的次数，再使用前缀和来快速计算每个询问区间内的 n 边形数量。

详细步骤

1. 深度优先搜索（DFS）生成所有可能的 n 边形

在代码中，dfs 函数用于生成所有可能的 n 边形。

参数说明：
- last：表示上一条边的长度，用于确保新边的长度大于上一条边，保证边的长度互不相同。
- sum：表示当前已经选择的边的长度之和。
- cnt：表示当前已经选择的边的数量。
- mul：表示当前已经选择的边的长度的乘积。
终止条件：
- 当 cnt 等于 (n + 1) 时，说明已经选择了 n 条边，此时将该 n 边形的边值 mul 对应的计数器 pre[mul] 加 1。
递归过程：
- 从 last + 1 开始枚举新的边的长度 i。
- 如果 i *mul 大于 100000，则停止搜索，因为后续的乘积会更大，不会满足要求。
- 如果 cnt 等于 n 且 sum 小于等于 i，则停止搜索，因为此时不满足多边形的条件（任意一条边的长度小于其余边的长度之和）。
- 递归调用 dfs 函数，更新 last 为 i，sum 为 sum + i，cnt 为 cnt + 1，mul 为 i *mul。

2. 前缀和处理

在 DFS 完成后，使用前缀和数组 pre 来快速计算区间内的 n 边形数量。

对于前缀和数组 pre，pre[i] 表示边值小于等于 i 的 n 边形的数量。
通过遍历 1 到 100000，将 pre[i] 更新为 pre[i] + pre[i - 1]。

3. 处理询问

对于每个询问的区间[l, r]，通过前缀和数组计算边值在该区间内的 n 边形的数量。

边值在区间 [l, r] 内的 n 边形的数量为 pre[r] - pre[l - 1]。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long

int t,n,l,r,pre[100005];
void dfs(int last,int sum,int cnt,int mul){
    if(cnt==n+1){
        pre[mul]++;
        return ;
    }
    for(int i=last+1;i<=100000;++i){
        if(i*mul>100000)return;
        if(cnt==n&&sum<=i)return;
        dfs(i,sum+i,cnt+1,i*mul);   

    }
}

signed main()
{
    cin>>t>>n;
    dfs(0,0,1,1);
    for(int i=1;i<=1e5;i++){
        pre[i]+=pre[i-1];
    }
    for(int i=0;i<t;++i){
        cin>>l>>r;
        cout<<pre[r]-pre[l-1]<<'\n';
    }
    return 0;
}