P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）【题解】(重链剖分法)

本文讲解重链剖分法求 LCA
关于Tarjan法：P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）【题解】(Tarjan法)
关于倍增法：P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）【题解】(倍增法)

P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

题目描述

如题，给定一棵有根多叉树，请求出指定两个点直接最近的公共祖先。

输入格式

第一行包含三个正整数 $N,M,S$，分别表示树的结点个数、询问的个数和树根结点的序号。

接下来 $N-1$ 行每行包含两个正整数 $x,y$，表示 $x$ 结点和 $y$ 结点之间有一条直接连接的边（数据保证可以构成树）。

接下来 $M$ 行每行包含两个正整数 $a,b$，表示询问 $a$ 结点和 $b$ 结点的最近公共祖先。

输出格式

输出包含 $M$ 行，每行包含一个正整数，依次为每一个询问的结果。

输入输出样例 #1

输入 #1

5 5 4
3 1
2 4
5 1
1 4
2 4
3 2
3 5
1 2
4 5

输出 #1

4
4
1
4
4

说明/提示

对于 $30\%$ 的数据，$N\le 10$，$M\le 10$。

对于 $70\%$ 的数据，$N\le 10000$，$M\le 10000$。

对于 $100\%$ 的数据，$1\le N,M\le 500000$，$1\le x,y,a,b\le N$，不保证 $a\ne b$。

样例说明：

该树结构如下：

第一次询问：$2,4$ 的最近公共祖先，故为 $4$。

第二次询问：$3,2$ 的最近公共祖先，故为 $4$。

第三次询问：$3,5$ 的最近公共祖先，故为 $1$。

第四次询问：$1,2$ 的最近公共祖先，故为 $4$。

第五次询问：$4,5$ 的最近公共祖先，故为 $4$。

故输出依次为 $4,4,1,4,4$。

2021/10/4 数据更新 @fstqwq：应要求加了两组数据卡掉了暴力跳。

解析：

1.有关LCA

👉详见P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）【题解】(Tarjan法)

2.有关重链剖分

👉详见P3384 【模板】重链剖分/树链剖分
其实这题里面有部分与 $LCA$ 的重链剖分求法相似

3.思路

用暴力算法时，我们使 $u,v$均一个深度一个深度的上升，导致了效率低下。
而观察重链剖分算法，每次上升时可以上升大量的深度，效率大大提高了。

于是就将 $LCA$ 与重链剖分结合。具体用法见下👇：

对于两点，选择所在位置的重链顶端深度较小的那个点，上升到所在位置的重链顶端的父亲。
再选择所在位置的重链顶端深度较小的那个点，上升到所在位置的重链顶端的父亲。
……（我们都知道每个重链顶端的父亲都在其它重链上，这就使两点最终一定能到达同个重链上）

（至于为啥选择所在位置的重链顶端深度较小的那个点操作，是因为两个点若不在同个重链上，就至少有一个点的的重链顶端深度小于 $LCA$ ，即不可能两个点的的重链顶端深度都小于 $LCA$，因为 $LCA$ 点延伸下来就只有一条重链，绝不会有两条重链。而我们跳点不能跳到深度比 $LCA$ 还小的点）
如此循环，直到两点在同条重链上为止。两者中深度较小的即为最小公共祖先了。

4.代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1000005;
int n,m,s;
struct EDGE{
	int to,nxt;
}edge[MAXN];
int head[MAXN];
int tot;
void add(int u,int v){
	tot++;
	edge[tot].nxt=head[u];
	edge[tot].to=v;
	head[u]=tot;
}
struct tree{
	int wc,size,d,fa,top;
}p[MAXN];
void dfs1(int u,int fa){
	p[u].d=p[fa].d+1;p[u].fa=fa;p[u].size=1;
	for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt){
		int v=edge[i].to;
		if(v==fa) continue;
		dfs1(v,u);
		p[u].size+=p[v].size;
		if(p[v].size>p[p[u].wc].size) p[u].wc=v;
	}
}
void dfs2(int u,int Top){
	p[u].top=Top;
	if(p[u].wc!=0){
		dfs2(p[u].wc,Top);
		for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt){
			int v=edge[i].to;
			if(v==p[u].fa||v==p[u].wc) continue;
			dfs2(v,v);
		}
	}
}
int find(int x,int y){
	while(p[x].top!=p[y].top){//两点所在链不相同
		if(p[p[x].top].d<p[p[y].top].d) swap(x,y);//保持x点更深
		x=p[p[x].top].fa;//到所在链顶端的父亲
	}
	return p[x].d>p[y].d?y:x;//此时x,y在同条链上了，只需返回两者中深度较小的
}
int main(){
	int ui,vi;
	cin>>n>>m>>s;
	/*建树部分*/
	for(int i=1;i<n;i++){
		cin>>ui>>vi;
		add(ui,vi);
		add(vi,ui);
	}
	/*重链剖分部分*/
	dfs1(s,0);
	dfs2(s,s);
	/*查询部分*/
	for(int i=1;i<=m;i++){
		cin>>ui>>vi;
		cout<<find(ui,vi)<<endl;
	}
	return 0;
}

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