人工智能之数学基础：矩阵的相似变换

本文重点

矩阵的相似变换是线性代数中一个至关重要的概念，它揭示了矩阵之间的一种特殊关系，并通过可逆矩阵将一个矩阵转化为另一个相似矩阵，同时保持矩阵的某些本质特征不变。在机器学习领域，矩阵的相似变换发挥着不可或缺的作用，广泛应用于数据降维、聚类分析、分类推荐、矩阵分解重构及神经网络中的特征提取与信息传递等多个方面。

相似变换的定义

如果有两个矩阵A,B，以及一个可逆矩阵P，它们满足下面的关系：

那么可以称矩阵A，B相似，记为A~B。P被称为相似变换矩阵。其中，P的列向量是A的线性无关的特征向量，Λ的主对角线元素是A的特征值。

相似的性质

相似具有自反性。矩阵会与自身相似A~A

相似具有对称性。A~B,则B~A

相似具有传递性。A~B且B~C，那么A~C

相似矩阵的特征向量可能不同，但它们的特征值一定是相同，A~B，那么矩阵A和矩阵B具有特征值是一样的，这个性质可以将找到某个矩阵的相似矩阵（对角矩阵或者三角矩阵），对角矩阵或者三角矩阵的主对角线元素即为A的特征值。

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