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卡特兰数问题

news 来源：原创 2025/6/8 7:16:40

1. 前置知识-求组合数

求组合数 $C^b_a = C^{b-1}_{a-1}+C^{b}_{b-1}$

$C^b_a$ 的含义就是从 $a$ 个数当中选 $b$ 个数

如果我们不选第 $a$ 个数： $C_{a-1}^b$
如果我们选第 $a$ 个数： $C_{a-1}^{b}$

可以发现，就是一个动态规划的过程

边界条件为 $C_{n}^0=1$
$f [a] [b]$ ： $C_a^b$
时间复杂度 $O(N^2)$

int f[N][N];	
void dp()	
{
    f[0][0] = 1;
	for(int i = 1; i < N; i ++ )
	{
		for(int j = 0; j < N; j ++ )	
		{
			if(!j)	f[i][j] = 1;
			else f[i][j] = (f[i - 1][j] + f[i - 1][j - 1]) % mod;
		}
	}
}

2. 卡特兰数-例题引入

有 $n$ （ $n$ <= $13$ ）个字母 $ab c$ …，依次进栈/出栈，有多少种可能的出栈序列
输入：一个正整数 $3$
输出：第一行为总方案数
例如：

3
--------
5
abc
acb
bac
bca
cba

代码一：输出路径，时间复杂度： $O(2^{2n})$

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <stack>

using namespace std;

vector<int> path;
stack<int> s;
int res;

void dfs(int u, int n, int cnt)
{
    if(cnt == n)
    {
        res ++ ;
        for(int i = 0; i < n; i ++ )    cout << char(path[i] + 'a');
        cout << endl;
        return ;
    }
    if(s.size())    // 可以pop
    {
        auto t = s.top();   s.pop();
        path.push_back(t);
        dfs(u, n, cnt + 1);  // 由于当前元素没有使用,下一次仍然是从u开始
        path.pop_back();
        s.push(t);
    }
    if(u < n)   // 可以push
    {
        s.push(u);
        dfs(u + 1, n, cnt);
        s.pop();    // 别忘了这里也需要回溯
    }
}

int main()
{
    int n;  cin >> n;
    dfs(0, n, 0);  
    cout << res << endl;
    return 0;
}
// n=5:42
// n=3:5

代码二：只输出答案，数据很大，注意爆 $in t$

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 50;

long long f[N][N]; // f[i][j] -> c_i^j

int main()
{
    int n;  cin >> n;
    for(int i = 0; i < N; i ++ )    f[i][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n << 1; i ++ )
        for(int j = 1; j <= n; j ++ )
            f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][j - 1];
    cout << f[n << 1][n] / (n + 1) << endl;
    return 0;
}