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第六章数学

news 来源：原创 2025/6/16 4:45:54

第六章数学

1、整除与同余

2、质因数与公约数

3、素数筛法

4、唯一分解定理与gcd，lcm的关系

5、裴蜀定理

6、快速幂

7、费马小定理

8、逆元

9、约数个数与约束之和

10、欧拉函数

11、矩阵乘法

12、排列组合、二项式定理、集合划分

一、排列数

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⭐️帕斯卡恒等式

⭐️隔板法
（组不可以为空）
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🌟C(n - 1,k - 1)

📖分球
（组可以为空）

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🌟C(n + k - 1,k - 1)

在这里插入图片描述

📚分球

二、二项式定理

（了解）
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三、集合划分

📖问题描述
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static finalint MOD = 1000000007;//模数
static long[][]dp; //记忆化数组

//递归函数计算S(n，k)
public static long stirling(int n, int k) {
	/／边界条件
	if(k=0 || k>n)return 0;// 子集数为0 或大于元素数，无解
	if(k== n || k==1)return1;// 每个元素单独成组，或所有元素为一个组
	
	//如果已经计算过，直接返回
	if (dp[n][k] != -1) return dp[n][k];
	
	// 使用递推公式计算: S(n,k)= k *S(n-1，k)+ S(n-1,k-1)
	dp[n][k] = (1l * k * stirling(n - 1, k) % MOD + stirling(n - 1, k - 1)) % MOD;
	return dp[n][k];
}

1️⃣为什么要乘 1l？

2️⃣为什么最后一个式子可以这么写？推导一下。

📚摆放小球

13、求解组合数

📖
在这里插入图片描述

dp求组合数

在这里插入图片描述
状态定义
dp[i][j]表示从i个数选择j个数的方案数。
状态转移
根据组合数递推式，对于第j个数我们有选和不选，即dp[i][j]=dp[i-1][j—1]+dp[i-1][j]
初始化
设置所有的dp[i][0]=1
结果
输出给定的dp[a][b]即可
时间复杂度空间复杂度均为n²。

//创建DP数组
int[][] dp = new int[a + 1][a + 1];

//初始化dp数组
for (int i = 0; i <= a; i++) {
	dp[i][0]= 1;
}

// 递推计算C_a^b并对MOD取模
for (int i = 1; i <= a; i++) {
	for (int j = 1; j <= i; j++) {
		dp[i][j]= (dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]) % MOD;
	}
}
		
//输出结果
System.out.println(dp[a][b]);