001初识多视图几何
多视图几何（Multiview Geometry）讲解
1. 多视图几何的概念
多视图几何（Multiview Geometry）是计算机视觉中的一个重要分支，主要研究如何从多个不同视角的图像中恢复三维场景的信息。其核心目标是理解摄像机的投影几何关系，并通过多张图像推断物体的三维结构。
2. 相关数学基础
多视图几何依赖于多个数学工具，主要包括：
- 投影几何（Projective Geometry）：描述三维空间如何投影到二维图像平面。
- 线性代数（Linear Algebra）：用于求解矩阵运算，如本质矩阵、单应矩阵计算等。
- 优化方法（Optimization）：用于相机参数标定、三角测量等任务。
3. 摄像机模型
在多视图几何中，摄像机的数学建模是基础。常见的摄像机模型包括：
(1) 针孔摄像机模型（Pinhole Camera Model）
该模型假设光线通过一个小孔进入摄像机，没有透镜变形，投影关系可以用**透视投影变换（Perspective Projection）**来描述：
x
=
K
[
R
∣
t
]
X
\mathbf{x} = K [R | t] \mathbf{X}
x=K[R∣t]X
其中：
- x = ( u , v , 1 ) T \mathbf{x} = (u, v, 1)^T x=(u,v,1)T 是图像上的点（齐次坐标）。
- X = ( X , Y , Z , 1 ) T \mathbf{X} = (X, Y, Z, 1)^T X=(X,Y,Z,1)T 是3D空间中的点。
- K K K 是内参矩阵，描述摄像机的焦距和光心。
- R R R 和 t t t 是外参，描述相机在世界坐标系中的位置和方向。
4. 基础几何关系
多视图几何中有几个核心的几何关系：
(1) 极几何约束（Epipolar Geometry）
当一个3D点在不同图像中投影时，它们的像点满足特定的几何约束，称为极几何约束。
- 极点（Epipole）：相机中心在另一张图像中的投影。
- 极线（Epipolar Line）：3D点在两张图像中的投影点必须落在对应的极线上。
该关系可由**基本矩阵（Fundamental Matrix，
F
F
F）**描述：
x
′
T
F
x
=
0
\mathbf{x'}^T F \mathbf{x} = 0
x′TFx=0
其中
x
\mathbf{x}
x 和
x
′
\mathbf{x'}
x′ 分别是两张图像上的点。
- 本质矩阵（Essential Matrix，
E
E
E）：用于归一化相机坐标系（无内参影响）。
E = [ t ] × R E = [t]_{\times} R E=[t]×R
本质矩阵蕴含了两个相机之间的相对运动信息。
(2) 单应性变换（Homography）
当场景是纯平面时，两幅图像之间可以由一个**单应矩阵（Homography Matrix,
H
H
H）**联系：
x
′
=
H
x
\mathbf{x'} = H \mathbf{x}
x′=Hx
其中
H
H
H 是一个
3
×
3
3 \times 3
3×3 矩阵，可通过 直接线性变换（DLT） 方法求解。
5. 计算机视觉任务
多视图几何在多个计算机视觉任务中起关键作用：
- 立体匹配（Stereo Matching）：利用极几何约束计算视差图，进而恢复深度信息。
- 三角测量（Triangulation）：利用多个视角恢复3D点的位置。
- 相机位姿估计（Pose Estimation）：求解相机的旋转和平移参数。
- 结构从运动（Structure from Motion, SfM）：从多张图像重建三维模型。
- 视觉SLAM（Simultaneous Localization and Mapping）：用于机器人和自动驾驶场景中的实时3D环境建模。
6. 相关算法
在实际应用中，多视图几何涉及多个关键算法：
- 八点法（Eight-Point Algorithm）：估计基础矩阵。
- 五点法（Five-Point Algorithm）：计算本质矩阵。
- RANSAC（随机采样一致性）：用于去除错误匹配点，提高计算稳定性。
- PnP（Perspective-n-Point）：求解相机位姿。
7. 经典应用
多视图几何在实际应用中的典型案例：
- Google Earth 3D建模：使用SfM和MVS（Multi-View Stereo）技术从航拍图像生成城市3D模型。
- AR/VR（增强现实/虚拟现实）：通过SLAM技术进行环境建模，实现虚拟物体的正确投影。
- 自动驾驶：立体视觉用于深度估计，辅助感知环境中的障碍物和车道信息。
8. 结论
多视图几何是计算机视觉的核心技术之一，涉及多个数学工具和算法。它在立体视觉、三维重建、视觉SLAM等多个领域有广泛应用。掌握多视图几何不仅需要理解其几何关系，还要熟悉实际算法的实现，如SIFT特征匹配、RANSAC去噪、三角测量等方法。
接下来煮啵将从头开始一点一点的讲解多视图几何，这会比较复杂