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算法时间复杂度分析

news 来源：原创 2025/5/11 10:46:36

1. 基本概念

大 O 符号 O(f(n))
表示算法的最坏情况复杂度，即算法在最不利情况下所需的基本操作数不会超过 O(f(n))的级别。例如， $O(n^2)$ 表示当输入规模 n 增大时，算法运行时间上界是某个常数乘以 $n^2$ 。
Ω 符号 Ω(f(n))
表示算法的下界，即在任何情况下，算法至少需要做 Ω(f(n)) 数量级的基本操作。
Θ 符号 Θ(f(n))
当一个算法的上界和下界都为 f(n) 的量级时，我们就说该算法的时间复杂度是 Θ(f(n))。
平均时间复杂度
对所有可能输入的运行时间取平均得到的复杂度，反映了算法在一般情况下的表现。

2. 递归关系与主定理

在分析递归算法时，常用以下递归公式和工具：

递归公式的一般形式
$T(n) = aT\left(\frac{n}{b}\right) + f(n)$
其中 a≥1 、b> 且 f(n) 是非递归部分的工作量。
主定理（Master Theorem）
用于求解上述递归公式，其结果通常分为三种情况：
- 情况 1： 如果 $f(n) = O\left(n^{\log_b a-\epsilon}\right)$ 对于某个 ϵ>0，那么
  $T(n)=\Theta\left(n^{\log_b a}\right).$
- 情况 2： 如果 $f(n)=\Theta\left(n^{\log_b a}\right)$ ，则
  $T(n)=\Theta\left(n^{\log_b a}\log n\right).$
- 情况 3： 如果 $f(n)=\Omega\left(n^{\log_b a+\epsilon}\right)$ 对于某个 ϵ>0 ，并且满足正则性条件，则
  $T(n)=\Theta\left(f(n)\right).$

举例说明：
对于归并排序，递归公式为

$T(n)=2T\left(\frac{n}{2}\right)+O(n)$

这里 a=2 、b=2 ，且 f(n)=O(n) 与 $n^{\log_2 2}=n$ 同级，故满足情况2，有

$T(n)=\Theta(n\log n).$

3. 递归树法与迭代法

递归树法
将递归公式分解成一棵树，求解各层的工作量和总的层数，最终将各层的工作量累加求和。例如，对于递归关系
$T(n)=T(n-1)+O(1),$
递归树有 n 层，每层成本为 O(1) ，因此总时间复杂度为 O(n)。
迭代法
将递归公式展开，寻找通项后求和。例如，对于
$T(n)=T(n-1)+O(n),$
展开后可得到
$T(n)=T(1)+O\left(\sum_{i=2}^{n} i\right)=O(n^2).$

4. 求和公式与级数

很多算法分析中需要利用常见的求和公式，常见的有：

算术级数：
$\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} = \Theta(n^2).$
几何级数：
$\sum_{i=0}^{k} a^i = \frac{a^{k+1}-1}{a-1}, \quad a\neq1,$
当 $k=\log_a n$ 时，总量大约为 Θ(n) 。
调和级数：

$\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} = \Theta(\log n).$

5. 分析方法

计数基本操作
通常选择算法中最耗时的操作（例如循环体内的语句、比较或交换等）进行计数，推导出操作数的数学表达式，再用大 O 表示。
分步分析
对于嵌套循环、递归算法或分治算法，分别分析各部分的时间复杂度，最后根据乘法或加法规则得出整体时间复杂度。
递归关系与主定理
对于递归算法，可以建立递归关系（例如 T(n)=2T(n/2)+O(n)），使用递归树或主定理求解出 T(n)的量级。

6. 典型算法时间复杂度举例

线性搜索 (Linear Search)
- 过程：在一个长度为 n 的数组中逐个比较元素，查找目标值。
- 时间复杂度：最坏情况下需要比较所有 n 个元素，故为 O(n)。
二分搜索 (Binary Search)
- 过程：在一个有序数组中，通过每次将搜索区间减半来查找目标值。
- 时间复杂度：每次操作将问题规模缩小一半，故为 O(log⁡n)。
冒泡排序 (Bubble Sort)
- 过程：重复遍历数组，比较相邻元素并交换使得最大（或最小）元素逐步“冒泡”到末端。
- 时间复杂度：最坏情况需要进行大约 $\frac{n(n-1)}{2}$ 次比较，故为 $O(n^2)$ 。
归并排序 (Merge Sort)
- 过程：采用分治策略将数组分为若干子数组进行排序，再归并。
- 时间复杂度：分解为两个规模为 n/2 的子问题，再加上归并操作的 O(n) 时间，递归关系为 T(n)=2T(n/2)+O(n) ，解得为 O(nlog⁡n) 。
快速排序 (Quick Sort)
- 过程：选取基准元素，将数组划分为两部分，再递归排序。
- 时间复杂度：平均情况下为 O(nlog⁡n) ；但在最坏情况下（例如每次选取的基准都是极端值），时间复杂度为 $O(n^2)$ 。
Dijkstra 算法（使用邻接矩阵）
- 过程：寻找单源最短路径，采用贪心策略不断更新路径。
- 时间复杂度：对每个节点都需扫描所有节点，故为 $O(n^2)$ ；如果采用堆优化，则复杂度可降低为 $O((n+e) \log n)$ （其中 e 边数）。

7. 分析实例：归并排序

我们来具体看归并排序的时间复杂度分析：

分解阶段：
将问题分解为两个子问题，每个子问题的规模为 n/2 ，这一步的时间复杂度为 2T(n/2) 。
合并阶段：
将两个已排序的子数组归并成一个有序数组需要 O(n) 时间。
递归关系：
总时间复杂度满足递归关系
T(n)=2T(n/2)+O(n).
求解递归关系：
根据主定理，此递归关系的解为
T(n)=O(nlog⁡n).

8. 总结

分析方法：
对于任何算法，分析其循环、递归及分治过程，找出最耗时的基本操作，建立数学模型，再用大 O、Ω、Θ 符号描述。
典型例子：
- 线性搜索：O(n)
- 二分搜索：O(log⁡n)
- 冒泡排序： $O(n^2)$
- 归并排序：O(nlog⁡n)
- 快速排序：平均 O(nlog⁡n))，最坏 $O(n^2)$
- Dijkstra 算法（无堆）： $O(n^2)$ ，（堆优化）： $O((n+e) \log n)$