算法数论.3(拓展欧几里得，中国剩余定理)

1.扩展欧几里得算法

int exgcd(int a, int b, int &x,int &y){
    if(!b)// b == 0
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);//根据交换，交换x, y
    y -= a / b * x;//更新y
    return d;
}

题目：

要解本题，首先介绍一下裴蜀定理：有一对正整数a，b，那么一定存在整数x，y，使得
ax + by = gcd (a, b)

简单证明一下：a是gcd(a,b)的倍数， b是gcd(a,b)的倍数， 那么倍数加倍数ax + by = d也一定是gcd(a,b)的倍数。

b ==0 时， （a,0) = a， ax + by = a， 此时 x = 1, y = 0;

b != 0时，    此时 d = exgcd(b, a % b, y, x) ；即 by + (a % b)x = (a,b)

                                                                            by + (a - a/b * b)* x = d

                                                                            a*x + b*(y - a/b * x) = d

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int exgcd(int a, int b, int &x,int &y){
    if(!b)// b == 0
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);//根据交换，交换x, y
    y -= a / b * x;//更新y
    return d;
}

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    while(n --){
        int x, y, a, b;
        cin >> a>> b;
        exgcd(a, b, x, y);
        cout <<x <<" "<<y<<endl;
    }
    
    return 0;
}

2.线性同余方程

题目：

要求题；即存在y属于整数，使得 a* x = m*y + b;

                                                     ax - my = b

                                                即ax + my = b   ----> 扩展欧几里得

即证明b是（a, m)（即d）最大公约数的倍数。 若b不是， 则无解。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int exgcd(int a, int b, int &x,int &y){
    if(!b)// b == 0
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    while(n --){
        int x, y, m, a, b;
        cin >> a>> b>>m;
        int d = exgcd(a, m, x, y);//满足ax+my=最大公约数的d
        if(b%d) cout <<"impossible"<<endl;//若b不是d的倍数，无解
        else cout<<(long long)b/d *x%m<<endl;//不是，有解
    }
    
    return 0;
}