MPC模型预测控制的数学定义与工程化

一 MPC的数学定义与基本原理

模型预测控制 (MPC) 是一种基于滚动优化和反馈校正的预测控制策略, 其核心思想是通过系统模型预测未来状态, 并在有限时间窗口内求解最优控制输入. 以下是其数学定义的核心要素:

1. 系统模型
   采用离散时间状态空间模型描述系统动态, 如:
   $$\begin{gathered} x_{k+1}=A{x}_k+B{u}_k \\ {y}_k=C{x}_k \end{gathered}$$

   其中 $x_k$ 为状态向量, $u_k$ 为控制输入, $A,B,C$ 为系统矩阵, $y_k$ 是系统 $k$ 时刻的输出控制.

2. 优化目标函数
   目标函数通常为二次型, 包含状态跟踪误差, 控制量及其增量的加权和:
   $$J=\sum _{i=0}^{H_p-1}\left(\Vert x_{k+i}-x_{\text{ref}}{\Vert }_Q^2+\Vert u_{k+i}{\Vert }_R^2\right)+\Vert x_{k+H_p}-x_{\text{ref}}{\Vert }_P^2$$

   其中 $Q,R,P$ 为权重矩阵, $H_p$ 为预测时域.

3. 约束条件
   包括控制量幅值约束, 状态约束和动力学方程约束:
   $$u_{\min }\le u_k\le u_{\max },x_{\min }\le x_k\le x_{\max }$$

二 自动驾驶中的工程实现形式

在智驾领域, MPC的工程实现需结合车辆动力学模型和实时性需求:

1. 车辆动力学模型

   • 运动学模型 (Bicycle Model) : 适用于低速场景, 忽略轮胎侧偏特性:
     $$\{\begin{array}{l}\dot{x}=v\cos (\theta )\\ \dot{y}=v\sin (\theta )\\ \dot{\theta }=\frac{v\tan (\delta )}{L}\end{array}$$

     $L$ 为轴距, $\delta$ 为前轮转角.

   • 动力学模型 (2-DOF Model) : 考虑侧向力和横摆运动:
     $$\{\begin{array}{l}m\ddot{y}=F_{yf}+F_{yr}\\ I_z\ddot{\psi }=a{F}_{yf}-b{F}_{yr}\end{array}$$

     $F_{yf},F_{yr}$ 为前后轴侧向力.

2. 控制架构

   • 横向控制: 通过MPC调节前轮转角, 使车辆跟踪参考路径.
   • 纵向控制: 调节加速度, 维持安全跟车距离.
   • 分布式MPC: 降低计算复杂度, 适用于多车协同场景.

三 计算数学求解方法

MPC的求解本质是带约束的优化问题, 常用方法如下:

1. 二次规划 (QP)
   将线性MPC问题转换为标准QP形式:
   $$\underset{U}{\min }\frac{1}{2}{U}^{T}HU+f^{T}U\text{s.t.}{A}_{\text{ineq}}U\le b_{\text{ineq}}$$

   其中 $H=\text{diag}(Q,R)$, $f$ 由参考轨迹生成.
   Python示例 (cvxpy库):

   import cvxpy as cp
   U = cp.Variable((N, 1))
   cost = cp.quad_form(U, H) + f.T @ U
   constraints = [A_ineq @ U <= b_ineq]
   prob = cp.Problem(cp.Minimize(cost), constraints)
   prob.solve(solver=cp.OSQP)
   

2. 序列二次规划 (SQP)
   用于非线性MPC, 通过迭代QP逼近最优解.

四 模型约化技术

为降低计算复杂度, 可采用以下约化方案:

1. 时域压缩
   缩短预测时域 $H_p$ 和控制时域 $H_c$.

2. 线性化与降阶

   • 泰勒展开线性化: 在参考轨迹附近对非线性模型线性化.
   • 平衡截断法: 保留主导模态, 减少状态维度.

3. 显式MPC
   离线计算控制律, 在线查表.

五 Python实现案例

以车辆横向跟踪为例, 展示MPC实现流程:

import numpy as np
import casadi as ca

# 定义车辆模型 (Bicycle Model) 
def bicycle_model(x, u, L=2.5, dt=0.1):
    theta = x[2]
    v = x[3]
    delta = u[0]
    dx = ca.vertcat(
        v * ca.cos(theta),
        v * ca.sin(theta),
        v * ca.tan(delta) / L,
        u[1]  # 假设加速度为控制输入
    )
    return x + dx * dt

# MPC参数
N = 10  # 预测时域
Q = np.diag([10, 10, 1, 1])  # 状态权重
R = np.diag([1, 0.1])         # 控制量权重

# 构建优化问题
opti = ca.Opti()
X = opti.variable(4, N+1)     # 状态变量
U = opti.variable(2, N)       # 控制变量
x_ref = opti.parameter(4, N+1) # 参考轨迹

# 目标函数与约束
cost = 0
for i in range(N):
    cost += ca.mtimes([(X[:,i]-x_ref[:,i]).T, Q, (X[:,i]-x_ref[:,i])])
    cost += ca.mtimes([U[:,i].T, R, U[:,i]])
    opti.subject_to(X[:,i+1] == bicycle_model(X[:,i], U[:,i]))

# 求解
opti.minimize(cost)
opts = {'ipopt.print_level': 0, 'print_time': 0}
opti.solver('ipopt', opts)
sol = opti.solve()