数据结构与算法-数据结构-线段树1（单点修改，区间查询）：最大数，你能回答这些问题吗
介绍：
概念
线段树是一种二叉树数据结构，它用于高效处理区间查询（如求区间和、区间最大值等）和单点修改、区间修改操作。线段树的每个节点代表一个区间，根节点代表整个待处理的区间，每个内部节点将其代表的区间分成两部分，分别由其左右子节点表示。
思想
线段树的核心思想是分治。它将一个大区间不断地分解成较小的区间，直到每个区间只包含一个元素。通过预先计算和存储这些小区间的信息，我们可以在查询时快速地合并这些信息，从而高效地处理大区间的查询请求。同时，对于修改操作，我们只需要更新涉及到的节点信息，而不需要遍历整个区间。
功能
线段树主要用于解决以下两类问题：
单点修改，区间查询：
在某个位置修改元素的值，并查询某个区间内元素的信息（如和、最大值、最小值等）。
typedef struct node {
int l, r, M;
} node;
node tr[N * 4];
int pre = 0;
// 向上更新父节点信息
void pushup(int u) {
tr[u].M = max(tr[u << 1].M, tr[u << 1 | 1].M);
}
// 构建线段树
void build(int u, int l, int r) {
if (l == r) {
tr[u] = {l, r, 0};
} else {
int mid = (l + r) >> 1;
tr[u] = {l, r, 0};
build(u << 1, l, mid);
build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
pushup(u);
}
}
// 区间查询
int query(int u, int l, int r) {
if (l <= tr[u].l && tr[u].r <= r) {
return tr[u].M;
} else {
int mid = (tr[u].l + tr[u].r) >> 1;
int res = 0;
if (mid >= l) {
res = query(u << 1, l, r);
}
if (mid < r) {
res = max(res, query(u << 1 | 1, l, r));
}
return res;
}
return 0;
}
// 单点修改
void modify(int u, int x, int v) {
if (x == tr[u].l && tr[u].r == x) {
tr[u].M = v;
} else {
int mid = (tr[u].l + tr[u].r) >> 1;
if (mid >= x) modify(u << 1, x, v);
else modify(u << 1 | 1, x, v);
pushup(u);
}
}
不光可以求这个max，还可以求sum等等
pushup 函数：用于更新父节点的信息，这里是取左右子节点的最大值。
build 函数：递归构建线段树，将整个区间不断地二分，直到每个区间只包含一个元素。
query 函数：递归查询指定区间的信息，如果当前节点的区间完全包含在查询区间内，则直接返回该节点的信息；否则，分别查询左右子节点，并合并结果。
modify 函数：递归修改指定位置的元素值，并更新涉及到的父节点信息。
区间修改，区间查询：
对某个区间内的所有元素进行统一修改，并查询某个区间内元素的信息。
对于区间修改，我们需要引入懒标记（Lazy Tag）来优化时间复杂度。懒标记的作用是在区间修改时，不立即更新所有受影响的节点，而是先将修改信息记录在父节点上，等到需要查询这些节点时再将标记下放到子节点。
typedef struct node {
int l, r, M;
int lazy; // 懒标记
} node;
node tr[N * 4];
int pre = 0;
// 向上更新父节点信息
void pushup(int u) {
tr[u].M = max(tr[u << 1].M, tr[u << 1 | 1].M);
}
// 懒标记下放
void pushdown(int u) {
if (tr[u].lazy) {
tr[u << 1].M += tr[u].lazy;
tr[u << 1].lazy += tr[u].lazy;
tr[u << 1 | 1].M += tr[u].lazy;
tr[u << 1 | 1].lazy += tr[u].lazy;
tr[u].lazy = 0;
}
}
// 构建线段树
void build(int u, int l, int r) {
tr[u] = {l, r, 0, 0};
if (l == r) {
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
build(u << 1, l, mid);
build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
pushup(u);
}
// 区间查询
int query(int u, int l, int r) {
if (l <= tr[u].l && tr[u].r <= r) {
return tr[u].M;
}
pushdown(u);
int mid = (tr[u].l + tr[u].r) >> 1;
int res = 0;
if (mid >= l) {
res = query(u << 1, l, r);
}
if (mid < r) {
res = max(res, query(u << 1 | 1, l, r));
}
return res;
}
// 区间修改
void modify(int u, int l, int r, int v) {
if (l <= tr[u].l && tr[u].r <= r) {
tr[u].M += v;
tr[u].lazy += v;
return;
}
pushdown(u);
int mid = (tr[u].l + tr[u].r) >> 1;
if (mid >= l) {
modify(u << 1, l, r, v);
}
if (mid < r) {
modify(u << 1 | 1, l, r, v);
}
pushup(u);
}
这里的懒标记可以不止一个，可以通过后面的题看出来
最大数：
题目描述
现在请求你维护一个数列，要求提供以下两种操作：
查询操作。
语法：Q L
功能：查询当前数列中末尾 L 个数中的最大的数，并输出这个数的值。
限制：L 不超过当前数列的长度。(L>0)
插入操作。
语法：A n
功能：将 n 加上 t，其中 t 是最近一次查询操作的答案（如果还未执行过查询操作，则 t=0），并将所得结果对一个固定的常数 D 取模，将所得答案插入到数列的末尾。
限制：n 是整数（可能为负数）并且在长整范围内。
注意：初始时数列是空的，没有一个数。
输入格式
第一行两个整数，M 和 D，其中 M 表示操作的个数，D 如上文中所述。
接下来的 M 行，每行一个字符串，描述一个具体的操作。语法如上文所述。
输出格式
对于每一个查询操作，你应该按照顺序依次输出结果，每个结果占一行。
分析：
一个涉及区间查询和单点修改的题目，可以尝试用树状数组or线段树来解决，下面是线段树的解法：
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=200010;
int n,p,m;
typedef struct node{
int l,r,M;
}node;
node tr[N*4];
int pre=0;
void pushup(int u){
tr[u].M=max(tr[u<<1].M,tr[u<<1|1].M);
}
void build(int u,int l,int r){
if(l==r){
tr[u]={l,r,0};
}else {
int mid=(l+r)>>1;
tr[u]={l,r,0};
build(u<<1,l,mid);
build(u<<1 | 1,mid+1,r);
pushup(u);
}
}
int query(int u,int l,int r){
if(l<=tr[u].l&&tr[u].r<=r){
return tr[u].M;
}else {
int mid =(tr[u].l+tr[u].r)>>1;
int res=0;
if(mid>=l){
res=query(u<<1,l,r);
}
if(mid<r){
res=max(res,query(u<<1|1,l,r));
}
return res;
}
return 0;
}
void modify(int u,int x,int v){
if(x==tr[u].l&&tr[u].r==x){
tr[u].M=v;
}else{
int mid =(tr[u].l+tr[u].r)>>1;
if(mid>=x)modify(u<<1,x,v);
else modify(u<<1|1,x,v);
pushup(u);
}
}
int main(){
scanf("%d%d",&m,&p);
n=0;
pre=0;
build(1,1,m);
while(m--){
char op[2];
int val;
scanf("%s%d",op,&val);
if(op[0]=='Q'){
pre=query(1,n-val+1,n);
cout<<pre<<endl;
}else {
int tmp=((val+pre)%p+p)%p;
modify(1,n+1,tmp);
n++;
}
}
}
你能回答这些问题吗
给定长度为 NN 的数列 AA，以及 MM 条指令，每条指令可能是以下两种之一：
1 x y，查询区间 [x,y][x,y] 中的最大连续子段和，即 maxx≤l≤r≤ymaxx≤l≤r≤y{∑i=lrA[i]∑i=lrA[i]}。
2 x y，把 A[x]A[x] 改成 yy。
对于每个查询指令，输出一个整数表示答案。
输入格式
第一行两个整数 N,MN,M。
第二行 NN 个整数 A[i]A[i]。
接下来 MM 行每行 33 个整数 k,x,yk,x,y，k=1k=1 表示查询（此时如果 x>yx>y，请交换 x,yx,y），k=2k=2 表示修改。
输出格式
对于每个查询指令输出一个整数表示答案。
每个答案占一行。
分析：
对于一个node来说，在l~r区间的一个最大的连续字段和可以是:在左儿子l中最大的连续字段和，在右儿子r中的最大的连续字段和，横跨左儿子和右儿子的连续字段和，针对这个设计出的node
node{
int l,r;
int maxc,lc,rc;
}
但是我们现在就要多的去维护lc和rc，考虑lc是这么得到的:左儿子的lc，左儿子的sum和右儿子的lc,这样就可以求出来lc了，那么rc同理
sum很好维护，这个线段树的模版
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int inf=-0x3f3f3f3f;
const int N=500010;
int n,m;
struct node{
int l,r,maxc,lc,rc,sum;
}tr[N*4];
void pushup(int u){
tr[u].sum=tr[u<<1].sum+tr[u<<1|1].sum;
tr[u].lc=max(tr[u<<1].lc,tr[u<<1].sum+tr[u<<1|1].lc);
tr[u].rc=max(tr[u<<1|1].rc,tr[u<<1|1].sum+tr[u<<1].rc);
tr[u].maxc=max(tr[u<<1].maxc,max(tr[u<<1|1].maxc,tr[u<<1].rc+tr[u<<1|1].lc));
}
void build(int u,int l,int r){
if(l==r){
tr[u]={l,r,0,0,0,0};
}else{
tr[u].l=l,tr[u].r=r;
int mid=(l+r)>>1;
build(u<<1,l,mid);
build(u<<1|1,mid+1,r);
pushup(u);
}
}
node query(int u,int l,int r){
int ll=tr[u].l,rr=tr[u].r;
if(ll>=l&&rr<=r){
return tr[u];
}
node res;
int mid=(ll+rr)>>1;
if(r<=mid){
res=query(u<<1,l,r);
}else if(l>mid){
res=query(u<<1|1,l,r);
}else {//一定要讨论清楚，
node left=query(u<<1,l,r);
node right=query(u<<1|1,l,r);
res.sum=tr[u<<1].sum+tr[u<<1|1].sum;
res.lc=max(left.lc,left.sum+right.lc);
res.rc=max(right.rc,right.sum+left.rc);
res.maxc=max(left.maxc,max(right.maxc,left.rc+right.lc));
}
return res;
}
void modify(int u,int x,int v){
int ll=tr[u].l,rr=tr[u].r;
if(ll==x&&rr==x){
tr[u]={x,x,v,v,v,v};
}else {
int mid=(ll+rr)>>1;
if(mid>=x)modify(u<<1,x,v);
else modify(u<<1|1,x,v);
pushup(u);
}
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
build(1,1,n+2);
for(int i=1;i<=n;i++){
int tmp;
scanf("%d",&tmp);
modify(1,i,tmp);
}
for(int i=0;i<m;i++){
int k,x,y;
scanf("%d%d%d",&k,&x,&y);
if(k==1){
if(x>y)swap(x,y);
printf("%d\n",query(1,x,y).maxc);
}else {
modify(1,x,y);
}
}
}