正弦函数的连续傅里叶变换正弦序列的DTFT
正弦序列
- 时域
x [ n ] = sin ( ω 0 n ) x[n] = \sin(\omega_0 n) x[n]=sin(ω0n) - 频域
X ( e j ω ) = j π 2 [ δ ( ω − ω 0 ) − δ ( ω + ω 0 ) ] X({\rm e}^{{\rm j}\omega}) = \frac{{\rm j}\pi}{2} \left[ \delta(\omega - \omega_0) - \delta(\omega + \omega_0) \right] X(ejω)=2jπ[δ(ω−ω0)−δ(ω+ω0)]
说明
- 正弦序列的频谱由两个冲激函数组成，分别位于 ω = ω 0 \omega = \omega_0 ω=ω0 和 ω = − ω 0 \omega = -\omega_0 ω=−ω0。
- 系数 j π 2 \frac{{\rm j}\pi}{2} 2jπ 表示了频谱的幅度和相位特性。
- 正频率处的冲激函数 δ ( ω − ω 0 ) \delta(\omega - \omega_0) δ(ω−ω0) 表示正弦信号的正频率分量。
- 负频率处的冲激函数 δ ( ω + ω 0 ) \delta(\omega + \omega_0) δ(ω+ω0) 表示正弦信号的负频率分量。
推导过程
正弦序列可以表示为：
sin
(
ω
0
n
)
=
e
j
ω
0
n
−
e
−
j
ω
0
n
2
j
\sin(\omega_0 n) = \frac{{\rm e}^{{\rm j}\omega_0 n} - {\rm e}^{-{\rm j}\omega_0 n}}{2{\rm j}}
sin(ω0n)=2jejω0n−e−jω0n
利用复指数序列的DTFT：
DTFT
{
e
j
ω
0
n
}
=
2
π
δ
(
ω
−
ω
0
)
\text{DTFT}\{{\rm e}^{{\rm j}\omega_0 n}\} = 2\pi\delta(\omega - \omega_0)
DTFT{ejω0n}=2πδ(ω−ω0)
DTFT
{
e
−
j
ω
0
n
}
=
2
π
δ
(
ω
+
ω
0
)
\text{DTFT}\{e^{-{\rm j}\omega_0 n}\} = 2\pi\delta(\omega + \omega_0)
DTFT{e−jω0n}=2πδ(ω+ω0)
根据线性性质，得到：
X
(
e
j
ω
)
=
1
2
j
[
2
π
δ
(
ω
−
ω
0
)
−
2
π
δ
(
ω
+
ω
0
)
]
X({\rm e}^{{\rm j}\omega}) = \frac{1}{2{\rm j}} \left[ 2\pi\delta(\omega - \omega_0) - 2\pi\delta(\omega + \omega_0) \right]
X(ejω)=2j1[2πδ(ω−ω0)−2πδ(ω+ω0)]
二维正弦序列
- 时域
x [ m , n ] = sin ( 2 π u 0 m + 2 π v 0 n ) x[m, n] = \sin(2\pi u_0 m + 2\pi v_0 n) x[m,n]=sin(2πu0m+2πv0n)
其中， u 0 u_0 u0 和 v 0 v_0 v0 分别是水平和垂直方向的空间频率。 - 频域
X ( e j ω m , e j ω n ) = 1 2 j [ 2 π δ ( ω m − 2 π u 0 , ω n − 2 π v 0 ) − 2 π δ ( ω m + 2 π u 0 , ω n + 2 π v 0 ) ] X({\rm e}^{{\rm j}\omega_m}, {\rm e}^{{\rm j}\omega_n}) = \frac{1}{2{\rm j}} \left[ 2\pi \delta(\omega_m - 2\pi u_0, \omega_n - 2\pi v_0) - 2\pi \delta(\omega_m + 2\pi u_0, \omega_n + 2\pi v_0) \right] X(ejωm,ejωn)=2j1[2πδ(ωm−2πu0,ωn−2πv0)−2πδ(ωm+2πu0,ωn+2πv0)]
说明
- 二维正弦序列的频谱由两个冲激函数组成，分别位于 ( ω m , ω n ) = ( 2 π u 0 , 2 π v 0 ) (\omega_m, \omega_n) = (2\pi u_0, 2\pi v_0) (ωm,ωn)=(2πu0,2πv0) 和 ( ω m , ω n ) = ( − 2 π u 0 , − 2 π v 0 ) (\omega_m, \omega_n) = (-2\pi u_0, -2\pi v_0) (ωm,ωn)=(−2πu0,−2πv0)。
- 系数 j π 2 \frac{{\rm j}\pi}{2} 2jπ 表示了频谱的幅度和相位特性。
- 正频率处的冲激函数 δ ( ω m − 2 π u 0 , ω n − 2 π v 0 ) \delta(\omega_m - 2\pi u_0, \omega_n - 2\pi v_0) δ(ωm−2πu0,ωn−2πv0) 表示正弦信号的正频率分量。
- 负频率处的冲激函数 δ ( ω m + 2 π u 0 , ω n + 2 π v 0 ) \delta(\omega_m + 2\pi u_0, \omega_n + 2\pi v_0) δ(ωm+2πu0,ωn+2πv0) 表示正弦信号的负频率分量。
推导过程
二维正弦序列可以表示为：
sin
(
2
π
u
0
m
+
2
π
v
0
n
)
=
e
j
(
2
π
u
0
m
+
2
π
v
0
n
)
−
e
−
j
(
2
π
u
0
m
+
2
π
v
0
n
)
2
j
\sin(2\pi u_0 m + 2\pi v_0 n) = \frac{{\rm e}^{{\rm j}(2\pi u_0 m + 2\pi v_0 n)} - {\rm e}^{-{\rm j}(2\pi u_0 m + 2\pi v_0 n)}}{2{\rm j}}
sin(2πu0m+2πv0n)=2jej(2πu0m+2πv0n)−e−j(2πu0m+2πv0n)
利用复指数序列的二维DTFT：
DTFT
{
e
j
(
2
π
u
0
m
+
2
π
v
0
n
)
}
=
2
π
δ
(
ω
m
−
2
π
u
0
,
ω
n
−
2
π
v
0
)
\text{DTFT}\{{\rm e}^{{\rm j}(2\pi u_0 m + 2\pi v_0 n)}\} = 2\pi \delta(\omega_m - 2\pi u_0, \omega_n - 2\pi v_0)
DTFT{ej(2πu0m+2πv0n)}=2πδ(ωm−2πu0,ωn−2πv0)
DTFT
{
e
−
j
(
2
π
u
0
m
+
2
π
v
0
n
)
}
=
2
π
δ
(
ω
m
+
2
π
u
0
,
ω
n
+
2
π
v
0
)
\text{DTFT}\{{\rm e}^{-{\rm j}(2\pi u_0 m + 2\pi v_0 n)}\} = 2\pi \delta(\omega_m + 2\pi u_0, \omega_n + 2\pi v_0)
DTFT{e−j(2πu0m+2πv0n)}=2πδ(ωm+2πu0,ωn+2πv0)
根据线性性质，得到：
X
(
e
j
ω
m
,
e
j
ω
n
)
=
1
2
j
[
2
π
δ
(
ω
m
−
2
π
u
0
,
ω
n
−
2
π
v
0
)
−
2
π
δ
(
ω
m
+
2
π
u
0
,
ω
n
+
2
π
v
0
)
]
X({\rm e}^{{\rm j}\omega_m}, {\rm e}^{{\rm j}\omega_n}) = \frac{1}{2{\rm j}} \left[ 2\pi \delta(\omega_m - 2\pi u_0, \omega_n - 2\pi v_0) - 2\pi \delta(\omega_m + 2\pi u_0, \omega_n + 2\pi v_0) \right]
X(ejωm,ejωn)=2j1[2πδ(ωm−2πu0,ωn−2πv0)−2πδ(ωm+2πu0,ωn+2πv0)]
