5.2 位运算专题：LeetCode 268. 丢失的数字

1. 题目链接

LeetCode 268. 丢失的数字

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2. 题目描述

给定一个包含 [0, n] 范围内 n 个不同整数的数组 nums（实际长度为 n），找出数组中缺失的那个数字。
示例：

• 输入：nums = [3,0,1] → 输出：2（缺失数字为 2）
• 输入：nums = [0,1] → 输出：2（缺失数字为 2）

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3. 示例分析

1. 缺失中间值：
   • nums = [0,1,3,4] → 缺失 2。
2. 缺失最大值：
   • nums = [0,1,2] → 缺失 3（数组长度 n=3，范围为 [0,3]）。
3. 空数组：
   • 若 nums = [] → 缺失 0（题目保证 n ≥ 1，实际无需处理）。

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4. 算法思路

核心思想：异或运算的归零律与恒等律

1. 异或性质：
   • 归零律：a ^ a = 0
   • 恒等律：a ^ 0 = a
   • 交换律：a ^ b = b ^ a
2. 问题转化：
   • 假设完整数组为 [0,1,2,...,n]，实际数组 nums 缺少其中一个数。
   • 对完整数组和实际数组进行异或运算，重复的数会被抵消，最终结果为缺失值。

实现步骤：

1. 遍历实际数组：将所有元素异或到结果 ret。
2. 遍历完整数组：将 [0,1,...,n] 中的每个数异或到 ret。
3. 最终结果：ret 即为缺失的数字。

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5. 边界条件与注意事项

1. 输入数组有效性：
   • 题目保证数组元素唯一且范围正确，无需额外处理重复或越界值。
2. 缺失最大值的处理：
   • 若缺失 n，第二个循环中 i 的范围为 0~n，仍能正确异或得到结果。
3. 异或运算顺序无关性：
   • 异或满足交换律，遍历顺序不影响最终结果。

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6. 代码实现

class Solution 
{
public:
    int missingNumber(vector<int>& nums) 
    {
        int ret = 0;
        // 第一轮异或：处理实际数组
        for (int num : nums) ret ^= num;
        // 第二轮异或：处理完整数组 [0, 1, ..., n]
        for (int i = 0; i <= nums.size(); i++) ret ^= i;
        return ret;
    }
};

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算法分步解析

1. 初始化结果变量：

   int ret = 0;
   

   • ret 初始为 0，因为 0 ^ a = a。

2. 第一轮异或遍历实际数组：

   for (int num : nums) ret ^= num;
   

   • 假设实际数组为 [3,0,1]，则 ret 结果为 3 ^ 0 ^ 1 = 2。

3. 第二轮异或遍历完整数组：

   for (int i = 0; i <= nums.size(); i++) ret ^= i;
   

   • 完整数组为 [0,1,2,3]，此时 ret 计算为 2 ^ 0 ^ 1 ^ 2 ^ 3 = 3。

4. 返回结果：

   return ret;
   

   • 最终结果为 3，即缺失的数字。

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与暴力枚举法的对比

方法	时间复杂度	空间复杂度	核心思想
异或法	O(n)	O(1)	利用异或抵消重复元素
哈希表法	O(n)	O(n)	存储已出现元素，查找缺失值
数学求和法	O(n)	O(1)	计算理论总和与实际和的差值
暴力枚举法	O(n²)	O(1)	遍历检查每个数是否在数组中

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异或法的优势

1. 无额外空间：仅需常数空间，适合内存敏感场景。
2. 避免溢出风险：相较于求和法，异或法无需处理大数溢出问题。
3. 高效性：两次线性遍历即可解决问题。

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总结

异或法通过巧妙的位运算，将时间复杂度控制在 O(n)，同时避免使用额外空间，是解决“缺失数字”类问题的最优方案。其核心在于利用异或运算的数学性质，将重复元素抵消，最终定位缺失值。实际应用中，该方法还可扩展至其他需要“去重”或“找不同”的场景，例如只出现一次的数字等问题。

关键点：

• 异或运算的归零律和恒等律是算法的基础。
• 两次遍历分别处理实际数组和完整数组，确保所有元素成对抵消。