使用欧拉法数值求解微分方程的 Python 实现

编写函数y=Eular(x,h)，使用欧拉法数值求解微
分方程初值为函数Eular(x,h)中Cx为计算结束时微分方程x的值，h为计算步长再编写脚本，通过调用函数分别以不同步长(例如h=1.0，h=0.5，h=0.25)计算y(3)，并分析步长和误差之间的关系。

以下是使用欧拉法数值求解微分方程的 Python 实现。假设我们要求解的微分方程是 $\frac{dy}{dx}=f(x,y)$，并且已知初始条件 $y(x_0)=y_0$。这里我们以一个简单的微分方程 $\frac{dy}{dx}=y$，初始条件 $y(0)=1$ 为例，它的解析解是 $y=e^x$。

import math


def Eular(x, h):
    # 初始条件
    x0 = 0
    y0 = 1
    steps = int((x - x0) / h)
    y = y0
    for _ in range(steps):
        # 这里的 f(x, y) = y
        f = y
        y = y + h * f
    return y


# 精确解
def exact_solution(x):
    return math.exp(x)


# 不同步长
step_sizes = [1.0, 0.5, 0.25]
x_end = 3

for h in step_sizes:
    numerical_solution = Eular(x_end, h)
    exact = exact_solution(x_end)
    error = abs(numerical_solution - exact)
    print(f"步长 h = {h} 时，y({x_end}) 的数值解为: {numerical_solution}，精确解为: {exact}，误差为: {error}")

    

步长和误差之间的关系分析

欧拉法是一种一阶数值方法，其局部截断误差是 $O(h^2)$，全局截断误差是 $O(h)$。这意味着，当步长 $h$ 减小时，误差会大致线性地减小。在上述代码的输出中，你可以观察到，随着步长 $h$ 的减小，数值解会越来越接近精确解，误差也会越来越小。