连续型随机变量及其分布

连续型随机变量

数学公式可以看作一门精确描述事物的语言，比语言尤其是汉语的模糊性精确多了！离散型数据的处理可以通过枚举和相加进行处理。而连续型数据则没有办法这样处理。我们必须要通过函数和取值区间还有微积分计算。

［定义1］　若对于随机变量X的分布函数F（x）​，存在非负可积函数f（x）​，使得对于任意实数x，有

则称X为连续型随机变量，称f（x）为X的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数，记为X～f（x）.概率密度函数的图形称为X的密度曲线.根据定义可知概率密度具有以下性质：

①f（x）≥0；

②

反之，若一个函数满足上述性质，则该函数可以作为某个连续型随机变量的概率密度函数.连续型随机变量分布函数有以下性质.

①对于一个连续型随机变量X，若已知它的概率密度f（x）​，根据定义可以求得分布函数F（x）​，同时可以通过密度函数的积分来求X落在任何区间上的概率，即

②连续型随机变量X取任一指定值a（a∈R）的概率为0，因为:

因此，对连续型随机变量X，有

P{a<X≤b}=P{a≤X<b}=P{a<X<b}=P{a≤X≤b}

由此性质可见，连续型随机变量X取任意值a的概率为0，这说明概率为零的事件不一定是不可能事件.同样，概率为1的事件也不一定是必然事件.

③若f（x）在x处连续，则有

F'（x）=f（x)

设随机变量X的概率密度为

（1）求系数c；
（2）求X的分布函数；
（3）求P{2<X≤3.5}.

（1）根据概率密度的性质有

解得c = 1/6。所以密度函数为

当x<0时

当0≤x<3时

当3≤x≤4时

当x>4时

几种常用的连续分布

均匀分布

［定义2］　若连续型随机变量X的概率密度为

称X服从区间［a，b］上的均匀分布，记作X～U［a，b］.

由定义可知：​
（1）f（x）≥0；​

（2）

均匀分布的分布函数为

对于任意的x1，x2∈［a，b］（x1<x2）​，有

这表明均匀分布的随机变量X落入［a，b］任意子区间的概率与该子区间的长度成正比，而与子区间的位置无关.