神聖的綫性代數速成例題18. 正交變換、歐幾里得空間的同構、實對稱矩陣的正交相似對角化的應用”

1. **正交變換**：

設 \(\sigma\) 是歐幾里得空間 \(V\) 的一個線性變換，若對於任意的 \(\alpha,\beta\in V\)，都有 \((\sigma(\alpha),\sigma(\beta)) = (\alpha,\beta)\)，則稱 \(\sigma\) 是 \(V\) 的一個正交變換。正交變換具有重要性質，它能保持向量的內積不變，這也進一步意味著能保持向量的長度和夾角不變。從矩陣角度看，正交變換在正規正交基下的矩陣是正交矩陣，這建立了線性變換和矩陣之間的聯繫，方便我們通過矩陣來研究線性變換的性質。

2. **歐幾里得空間的同構**：

設 \(V\) 和 \(W\) 是兩個歐幾里得空間，若存在 \(V\) 到 \(W\) 的線性映射 \(\varphi\)，使得對於任意的 \(\alpha,\beta\in V\)，都有 \((\varphi(\alpha),\varphi(\beta)) = (\alpha,\beta)\)，且 \(\varphi\) 是雙射，則稱 \(V\) 與 \(W\) 同構，\(\varphi\) 稱為同構映射。同構的歐幾里得空間具有相同的維數，這表明同構的空間在結構上是相似的，它是衡量兩個歐幾里得空間關係的重要概念。同構映射不僅保持了向量的內積，還具有雙射的性質，保證了空間中元素的一一對應關係。

3. **實對稱矩陣的正交相似對角化的應用**： - 實對稱矩陣一定可以正交相似對角化，即對於實對稱矩陣 \(A\)，存在正交矩陣 \(P\)，使得 \(P^{-1}AP = \Lambda\)，其中 \(\Lambda\) 是對角矩陣，對角線上的元素是 \(A\) 的特征值。這一性質在眾多領域有重要應用，例如在二次型化簡中，通過正交相似對角化可以將二次型化為標準形，從而方便研究二次型的性質；在求解線性微分方程組方面，也能利用這一性質簡化計算和分析。

**例題解析**：

1. 判斷在 \(\mathbb{R}^2\) 中，線性變換 \(\sigma(x,y)=(x\cos\theta - y\sin\theta,x\sin\theta + y\cos\theta)\) 是否為正交變換（定義通常的內積）。

解：

設 \(\alpha=(x_1,y_1)\)，\(\beta=(x_2,y_2)\)。

先計算 \((\alpha,\beta)=x_1x_2 + y_1y_2\)，這是根據通常的內積定義得到的 \(\alpha\) 與 \(\beta\) 的內積。

再計算 \(\sigma(\alpha)=(x_1\cos\theta - y_1\sin\theta,x_1\sin\theta + y_1\cos\theta)\)，\(\sigma(\beta)=(x_2\cos\theta - y_2\sin\theta,x_2\sin\theta + y_2\cos\theta)\)。

則 \((\sigma(\alpha),\sigma(\beta))=(x_1\cos\theta - y_1\sin\theta)(x_2\cos\theta - y_2\sin\theta)+(x_1\sin\theta + y_1\cos\theta)(x_2\sin\theta + y_2\cos\theta)\)。

展開式子：

\(x_1x_2\cos^2\theta - x_1y_2\cos\theta\sin\theta - x_2y_1\cos\theta\sin\theta + y_1y_2\sin^2\theta + x_1x_2\sin^2\theta + x_1y_2\sin\theta\cos\theta + x_2y_1\sin\theta\cos\theta + y_1y_2\cos^2\theta\)。

利用 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) 進行整理，可得 \(x_1x_2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)+y_1y_2(\sin^2\theta + \cos^2\theta)=x_1x_2 + y_1y_2 = (\alpha,\beta)\)。

由於 \((\sigma(\alpha),\sigma(\beta)) = (\alpha,\beta)\)，滿足正交變換的定義，所以 \(\sigma\) 是正交變換。

2. 已知歐幾里得空間 \(V\) 和 \(W\)，\(\dim(V)=\dim(W)=3\)，\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 是 \(V\) 的一組正規正交基，\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\) 是 \(W\) 的一組正規正交基，定義線性映射 \(\varphi:V\rightarrow W\) 為 \(\varphi(\alpha_i)=\beta_i\)，\(i = 1,2,3\)，證明 \(V\) 與 \(W\) 同構。

證明：

首先，證明 \(\varphi\) 是線性映射。

設 \(\alpha = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3\)，\(\beta = l_1\alpha_1 + l_2\alpha_2 + l_3\alpha_3\)。 - 則 \(\varphi(\alpha)=k_1\varphi(\alpha_1)+k_2\varphi(\alpha_2)+k_3\varphi(\alpha_3)=k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + k_3\beta_3\)，\(\varphi(\beta)=l_1\varphi(\alpha_1)+l_2\varphi(\alpha_2)+l_3\varphi(\alpha_3)=l_1\beta_1 + l_2\beta_2 + l_3\beta_3\)。

且 \(\varphi(\alpha + \beta)=\varphi((k_1 + l_1)\alpha_1 + (k_2 + l_2)\alpha_2 + (k_3 + l_3)\alpha_3)=(k_1 + l_1)\beta_1 + (k_2 + l_2)\beta_2 + (k_3 + l_3)\beta_3=\varphi(\alpha) + \varphi(\beta)\)。

對於任意實數 \(k\)，\(\varphi(k\alpha)=k\varphi(\alpha)\)，所以 \(\varphi\) 滿足線性映射的定義，是線性映射。

其次，證明保持內積不變。

對於任意的 \(\alpha = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3\)，\(\beta = l_1\alpha_1 + l_2\alpha_2 + l_3\alpha_3\)。

根據正規正交基的性質，\((\alpha,\beta)=k_1l_1 + k_2l_2 + k_3l_3\)。 - 而 \((\varphi(\alpha),\varphi(\beta))=(k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + k_3\beta_3,k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + k_3\beta_3)=k_1l_1 + k_2l_2 + k_3l_3 = (\alpha,\beta)\)，即 \(\varphi\) 保持了向量的內積。

然後，證明 \(\varphi\) 是雙射。

因為 \(\dim(V)=\dim(W)=3\)，且 \(\varphi(\alpha_i)=\beta_i\)，\(i = 1,2,3\)，\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 是 \(V\) 的一組正規正交基，\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\) 是 \(W\) 的一組正規正交基。 - 對於 \(V\) 中的任意向量都可以由 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 線性表示，其在 \(\varphi\) 下的像可以由 \(\beta_1,\beta_2,\beta_3\) 線性表示，且不同的向量在 \(\varphi\) 下的像不同（一對一），同時 \(W\) 中的任意向量都可以通過 \(\varphi\) 找到 \(V\) 中對應的原像（滿射），所以 \(\varphi\) 是雙射。

综上，\(\varphi\) 是線性映射，保持內積不變且是雙射，所以 \(V\) 與 \(W\) 同構。

3. 用實對稱矩陣的正交相似對角化方法化二次型 \(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2 + 3x_2^2 + 3x_3^2 + 4x_2x_3\) 為標準形。

解：

首先，寫出二次型矩陣 \(A = \begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&2\\0&2&3\end{pmatrix}\)，這是根據二次型與矩陣的對應關係得到的。

然後，求特征值。

計算 \(\vert\lambda I - A\vert = \begin{vmatrix}\lambda - 2&0&0\\0&\lambda - 3& - 2\\0& - 2&\lambda - 3\end{vmatrix}= (\lambda - 2)[(\lambda - 3)^2 - 4]= (\lambda - 2)(\lambda^2 - 6\lambda + 9 - 4)= (\lambda - 2)(\lambda^2 - 6\lambda + 5)= (\lambda - 2)(\lambda - 1)(\lambda - 5)=0\)。

解得特征值 \(\lambda_1 = 1\)，\(\lambda_2 = 2\)，\(\lambda_3 = 5\)。

接下來，求特征向量並單位化。

當 \(\lambda_1 = 1\) 時，解齊次線性方程組 \((\lambda_1 I - A)X = 0\)，即 \(\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-2& - 2\\0& - 2&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\)，得到特征向量 \(\xi_1 = \begin{pmatrix}0\\1\\ - 1\end{pmatrix}\)，單位化得 \(\eta_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0\\1\\ - 1\end{pmatrix}\)。

當 \(\lambda_2 = 2\) 時，解齊次線性方程組 \((\lambda_2 I - A)X = 0\)，即 \(\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-1& - 2\\0& - 2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\)，得到特征向量 \(\xi_2 = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\)，單位化得 \(\eta_2 = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\)。

當 \(\lambda_3 = 5\) 時，解齊次線性方程組 \((\lambda_3 I - A)X = 0\)，即 \(\begin{pmatrix}3&0&0\\0&2& - 2\\0& - 2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\)，得到特征向量 \(\xi_3 = \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\)，單位化得 \(\eta_3 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\)。

最後，構造正交矩陣 \(P\) 並化二次型為標準形。

令正交矩陣 \(P = (\eta_1,\eta_2,\eta_3)=\begin{pmatrix}0&1&0\\\frac{1}{\sqrt{2}}&0&\frac{1}{\sqrt{2}}\\-\frac{1}{\sqrt{2}}&0&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\)，作正交變換 \(X = PY\)。

則二次型化為標準形 \(f = y_1^2 + 2y_2^2 + 5y_3^2\)。

4. 已知正交變換 \(\sigma\) 在 \(\mathbb{R}^3\) 的一組正規正交基 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 下的矩陣 \(A = \begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}\)，求 \(\sigma(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)\)。 

解：

因為 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 是正規正交基，且正交變換 \(\sigma\) 在這組基下的矩陣為 \(A\)。

根據線性變換與矩陣的關係，\(\sigma(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)=\sigma(\alpha_1)+\sigma(\alpha_2)+\sigma(\alpha_3)\)。

由矩陣 \(A\) 可知 \(\sigma(\alpha_1)=0\cdot\alpha_1 + 0\cdot\alpha_2 + 1\cdot\alpha_3=\alpha_3\)，\(\sigma(\alpha_2)=0\cdot\alpha_1 + 1\cdot\alpha_2 + 0\cdot\alpha_3=\alpha_2\)，\(\sigma(\alpha_3)=1\cdot\alpha_1 + 0\cdot\alpha_2 + 0\cdot\alpha_3=\alpha_1\)。 - 所以 \(\sigma(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)=\alpha_3 + \alpha_2 + \alpha_1=\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3\)。