当前位置： 首页 > news >正文

【矩阵快速幂】 P10502 Matrix Power Series|省选-

news 来源：原创 2025/5/7 4:27:47

本文涉及知识点

【矩阵快速幂】封装类及测试用例及样例

P10502 Matrix Power Series

题目描述

给定一个 n × n n×n n×n 矩阵 A A A 和一个正整数 k k k，找出和 S = A + A 2 + A 3 + . . . + A k S=A+A^2 +A^3 +...+A^k S=A+A2+A3+...+Ak。

输入格式

输入包含一个测试用例。输入的第一行包含三个正整数 n n n（ n ≤ 30 n \le 30 n≤30）、 k k k（ k ≤ 1 0 9 k \le 10^9 k≤109）和 m m m（ m < 1 0 4 m < 10^4 m<104）。接下来的 n n n 行每行包含 n n n 个小于 32,768 的非负整数，按行主序给出 A A A 的元素。

输出格式

以与给定 A A A 相同的方式输出 S S S 的元素对 m m m 取模。

翻译来自于：ChatGPT

输入输出样例 #1

输入 #1

2 2 4 
0 1 
1 1

输出 #1

1 2
2 3

矩阵快速幂

扩容为2n2n矩阵matn，分成4个矩阵：左上角 A k A_k Ak​,右上 S k S_k Sk​，左下角全0，右下单位矩阵。
matmatk-1的右上角就是答案。

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include <array>

#include <bitset>
using namespace std;

template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
	in >> pr.first >> pr.second;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
	return in;
}

template<class T = int>
vector<T> Read() {
	int n;
	scanf("%d", &n);
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
	COutBuff() {
		m_p = puffer;
	}
	template<class T>
	void write(T x) {
		int num[28], sp = 0;
		if (x < 0)
			*m_p++ = '-', x = -x;

		if (!x)
			*m_p++ = 48;

		while (x)
			num[++sp] = x % 10, x /= 10;

		while (sp)
			*m_p++ = num[sp--] + 48;
		AuotToFile();
	}
	void writestr(const char* sz) {
		strcpy(m_p, sz);
		m_p += strlen(sz);
		AuotToFile();
	}
	inline void write(char ch)
	{
		*m_p++ = ch;
		AuotToFile();
	}
	inline void ToFile() {
		fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
		m_p = puffer;
	}
	~COutBuff() {
		ToFile();
	}
private:
	inline void AuotToFile() {
		if (m_p - puffer > N - 100) {
			ToFile();
		}
	}
	char  puffer[N], * m_p;
};

template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
	inline CInBuff() {}
	inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
		FileToBuf();
		ch = *S++;
		return *this;
	}
	inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
		FileToBuf();
		int x(0), f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		
		return *this;
	}
	inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
		FileToBuf();
		long long x(0); int f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2>
	inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
		*this >> val.first >> val.second;
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3, class T4>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
		int n;
		*this >> n;
		val.resize(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> val[i];
		}
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read(int n) {
		vector<T> ret(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> ret[i];
		}
		return ret;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read() {
		vector<T> ret;
		*this >> ret;
		return ret;
	}
private:
	inline void FileToBuf() {
		const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
		if (canRead >= 100) { return; }
		if (m_bFinish) { return; }
		for (int i = 0; i < canRead; i++)
		{
			buffer[i] = S[i];//memcpy出错			
		}
		m_iWritePos = canRead;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
		int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
		if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
		m_iWritePos += readCnt;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
	}
	int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
	char buffer[N + 10], * S = buffer;
};


template<class T = long long>
class CMatMul
{
public:
	CMatMul(T llMod = 1e9 + 7) :m_llMod(llMod) {}
	// 矩阵乘法
	vector<vector<T>> multiply(const vector<vector<T>>& a, const vector<vector<T>>& b) {
		const int r = a.size(), c = b.front().size(), iK = a.front().size();
		assert(iK == b.size());
		vector<vector<T>> ret(r, vector<T>(c));
		for (int i = 0; i < r; i++)
		{
			for (int j = 0; j < c; j++)
			{
				for (int k = 0; k < iK; k++)
				{
					ret[i][j] = (ret[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % m_llMod;
				}
			}
		}
		return ret;
	}

	// 矩阵快速幂
	vector<vector<T>> pow(const vector<vector<T>>& a, vector<vector<T>> b, T n) {
		vector<vector<T>> res = a;
		for (; n; n /= 2) {
			if (n % 2) {
				res = multiply(res, b);
			}
			b = multiply(b, b);
		}
		return res;
	}
	vector<vector<T>> pow(vector<vector<T>> pre, vector<vector<T>> mat, const string& str)
	{
		for (int i = str.length() - 1; i >= 0; i--) {
			const int t = str[i] - '0';
			pre = pow(pre, mat, t);
			mat = pow(mat, mat, 9);
		}
		return pre;
	}
	vector<vector<T>> TotalRow(const vector<vector<T>>& a)
	{
		vector<vector<T>> b(a.front().size(), vector<T>(1, 1));
		return multiply(a, b);
	}
	vector<vector<T>> CreateRow(int C) {
		return vector<vector<T>>(1, vector<T>(C));
	}
	vector<vector<T>> CreateUint(int RC) {
		vector<vector<T>> ret(RC, vector<T>(RC));
		for (int i = 0; i < RC; i++) { ret[i][i] = 1; }
		return ret;
	}
protected:
	const  T m_llMod;
};

class KMPEx
{
public:
	static vector<int> ZFunction(string s) {
		int n = (int)s.length();
		vector<int> z(n);
		z[0] = n;
		for (int i = 1, left = 0, r = 0; i < n; ++i) {
			if (i <= r) {//如果此if,r-i+1可能为负数
				z[i] = min(z[i - left], r - i + 1);
			}
			while ((i + z[i] < n) && (s[z[i]] == s[i + z[i]])) {
				z[i]++;
			}
			if (i + z[i] - 1 > r) left = i, r = i + z[i] - 1;
		}
		return z;//z[i] 表示S与其后缀S[i,n]的最长公共前缀(LCP)的长度
	}
};

class Solution {
public:
	vector<vector<int>> Ans(const vector<vector<int>>& A, int k, int MOD) {
		const int N = A.size();
		CMatMul<> matMul(MOD);
		vector<vector<long long>> pre(N, vector<long long>(N * 2));
		vector<vector<long long>> mat(N * 2, vector<long long>(N * 2));
		for (int r = 0; r < N; r++) {
			mat[r + N][r + N] = 1;
			for (int c = 0; c < N; c++) {
				pre[r][c] = pre[r][c + N] = A[r][c];
				mat[r][c] = mat[r][c + N] = A[r][c];
			}
		}
		auto matAns = matMul.pow(pre, mat, k - 1);
		vector<vector<int>> ans(N, vector<int>(N));
		for (int r = 0; r < N; r++) {
			for (int c = 0; c < N; c++) {
				ans[r][c] = matAns[r][c + N];
			}
		}
		return ans;
	}
};

int main() {
#ifdef _DEBUG
	freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
	int n,k,m;
	cin >> n >> k >>m ;
	vector<vector<int>> A(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		A[i] = Read<int>(n);
	}
	auto res = Solution().Ans(A,k,m);
	for (const auto& v : res) {
		for (const auto& i : v) {
			cout << i << " ";
		}
		cout <<  "\n";
	}
				
#ifdef _DEBUG		
	//printf("start=%d,end=%d,T=%d", start,end,T);
	//Out(edge, "edge=");
	//Out(fish, ",fish=");
	/*Out(edge, "edge=");
	Out(que, "que=");*/
#endif // DEBUG		
	return 0;
}

单元测试

TEST_METHOD(TestMethod1)
		{
			auto res = Solution().Ans({ {0,1},{1,1} },1, 4);
			AssertV(vector<vector<int>>{ {0,1},{1,1} }, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod2)
		{
			auto res = Solution().Ans({ {0,1},{1,1} }, 2, 4);
			AssertV(vector<vector<int>>{ {1, 2}, { 2,3 } }, res);
		}

扩展阅读

我想对大家说的话
工作中遇到的问题，可以按类别查阅鄙人的算法文章，请点击《算法与数据汇总》。
学习算法：按章节学习《喜缺全书算法册》，大量的题目和测试用例，打包下载。重视操作
有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适） 专注
闻缺陷则喜(喜缺)是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛
失败+反思=成功 成功+反思=成功

视频课程

先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771
如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。

相关文章：

  • 蓝桥杯 之 最短路径算法
  • Bulk Rename Utility（BRU）——大批量重命名实用程序
  • NLP高频面试题（九）——大模型常见的几种解码方案
  • 图解AUTOSAR_CP_DiagnosticLogAndTrace
  • 深入解析 Redis 实现分布式锁的最佳实践
  • 京东二面：DeepSeek为何要用FP8而不是INT8？
  • spring boot 登入权限RBAC模式
  • 性能优化：python中的状态机
  • LLM - RAG性能的胜负手_重排序（Rerank）
  • 3：库的增删查改,编码,备份恢复
  • day 14
  • 神聖的綫性代數速成例題11. 極大綫性無關組、矢量在一組基下的座標
  • Unity Shader - UI Sprite Shader之抠图+纯色
  • 深入理解 lt； 和 gt；：HTML 实体转义的核心指南！！！
  • OpenHarmony子系统开发 - 电源管理（二）
  • NVMe（Non-Volatile Memory Express）详解
  • 如何在 Redis 中使用哈希（Hash）数据类型存储和管理对象数据的详细指南
  • 【mysql】唯一性约束unique
  • 常考计算机操作系统面试习题（二）（上）
  • 云服务器运维
  • 退休11年后，71岁四川厅官杨家卷被查
  • 科普｜肩周炎的自限性，意味着不治也能自己好？
  • 俄罗斯期望乌克兰在停火期间采取行动缓和局势
  • 国内多景区实行一票游多日：从门票经济向多元化“链式经济”转型
  • 三亚回应“买水果9斤变6斤”：反映属实，拟对流动摊贩罚款5万元
  • 南京大屠杀幸存者刘贵祥去世，享年95岁