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神聖的綫性代數速成例題11. 極大綫性無關組、矢量在一組基下的座標

news 来源：原创 2025/5/7 7:43:17

極大綫性無關組：設S是一個矢量組，T是S的一個部分矢量組。如果T綫性無關，且S中的任意矢量都可以由T綫性表示，則稱T是S的一個極大綫性無關組。極大綫性無關組不唯一，但極大綫性無關組中矢量的個數是唯一的，稱為該矢量組的秩。
矢量在一組基下的座標：設 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 是n維矢量空間V的一組基，對於V中的任意矢量 $\alpha$ ，若 $\alpha = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_n\alpha_n$ ，則有序數組 $(k_1,k_2,\cdots,k_n)$ 稱為矢量 $\alpha$ 在基 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 下的座標。

例題解析：

1.求矢量組 $\alpha_1=(1,2,3)$ ， $\alpha_2=(2,4,6)$ ， $\alpha_3=(3,4,5)$ ， $\alpha_4=(1,0,1)$ 的一個極大綫性無關組。

解：構成矩陣 $A = \begin{pmatrix}1&2&3&1\\2&4&4&0\\3&6&5&1\end{pmatrix}$ ，對其進行初等行變換。

第二行減去第一行的2倍，第三行減去第一行的3倍，得到 $\begin{pmatrix}1&2&3&1\\0&0&-2&-2\\0&0&-4&-2\end{pmatrix}$ 。

第三行減去第二行的2倍，得到 $\begin{pmatrix}1&2&3&1\\0&0&-2&-2\\0&0&0&2\end{pmatrix}$ 。

非零行的首非零元所在列對應的矢量 $\alpha_1,\alpha_3,\alpha_4$ 綫性無關，且原矢量組中的任意矢量都可由 $\alpha_1,\alpha_3,\alpha_4$ 綫性表示，所以 $\alpha_1,\alpha_3,\alpha_4$ 是一個極大綫性無關組。

2.已知矢量組 $\alpha_1=(1,1,0)$ ， $\alpha_2=(0,1,1)$ ， $\alpha_3=(1,0,1)$ 是3維矢量空間的一組基，求矢量 $\alpha=(2,3,4)$ 在這組基下的座標。

解：設 $\alpha = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3$ ，即 $(2,3,4)=k_1(1,1,0)+k_2(0,1,1)+k_3(1,0,1)$ 。

得到方程組 $\begin{cases}k_1 + k_3 = 2\\k_1 + k_2 = 3\\k_2 + k_3 = 4\end{cases}$ ，將第一個方程 $k_1 + k_3 = 2$ 移項得 $k_1 = 2 - k_3$ ，代入第二個方程 $2 - k_3 + k_2 = 3$ ，即 $k_2 - k_3 = 1$ 。

聯立 $\begin{cases}k_2 - k_3 = 1\\k_2 + k_3 = 4\end{cases}$ ，兩式相加得 $2k_2 = 5$ ， $k_2 = \frac{5}{2}$ ，則 $k_3 = \frac{3}{2}$ ， $k_1 = \frac{1}{2}$ 。

所以矢量 $\alpha$ 在基 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 下的座標為 $(\frac{1}{2},\frac{5}{2},\frac{3}{2})$ 。

3.判斷矢量組 $\alpha_1=(1,1,1)$ ， $\alpha_2=(1,2,3)$ ， $\alpha_3=(2,3,4)$ 的極大綫性無關組。

解：構成矩陣 $A = \begin{pmatrix}1&1&2\\1&2&3\\1&3&4\end{pmatrix}$ ，第二行減去第一行，第三行減去第一行，得到 $\begin{pmatrix}1&1&2\\0&1&1\\0&2&2\end{pmatrix}$ 。

第三行減去第二行的2倍，得到 $\begin{pmatrix}1&1&2\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}$ 。

非零行的首非零元所在列對應的矢量 $\alpha_1,\alpha_2$ 綫性無關，且原矢量組中的任意矢量都可由 $\alpha_1,\alpha_2$ 綫性表示，所以 $\alpha_1,\alpha_2$ 是一個極大綫性無關組。

4.已知 $\alpha_1=(1,0,0)$ ， $\alpha_2=(0,1,0)$ ， $\alpha_3=(0,0,1)$ 是3維矢量空間的標準基，求矢量 $\alpha=( - 1,2, - 3)$ 在這組基下的座標。

解：因為 $\alpha = - 1\times\alpha_1 + 2\times\alpha_2 - 3\times\alpha_3$ ，所以矢量 $\alpha$ 在基 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 下的座標為 $( - 1,2, - 3)$ 。

5.求矢量組 $\alpha_1=(1, - 1,0)$ ， $\alpha_2=(2, - 2,0)$ ， $\alpha_3=(0,0,1)$ 的一個極大綫性無關組。

解：構成矩陣 $A = \begin{pmatrix}1&2&0\\-1&-2&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ ，第二行加上第一行，得到 $\begin{pmatrix}1&2&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ 。

非零行的首非零元所在列對應的矢量 $\alpha_1,\alpha_3$ 綫性無關，且原矢量組中的任意矢量都可由 $\alpha_1,\alpha_3$ 綫性表示，所以 $\alpha_1,\alpha_3$ 是一個極大綫性無關組。

6.已知矢量組 $\alpha_1=(1,1,1)$ ， $\alpha_2=(1,0, - 1)$ ， $\alpha_3=(0,1,2)$ 是3維矢量空間的一組基，求矢量 $\alpha=(3,2,1)$ 在這組基下的座標。

解：設 $\alpha = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3$ ，即 $(3,2,1)=k_1(1,1,1)+k_2(1,0, - 1)+k_3(0,1,2)$ 。

得到方程組 $\begin{cases}k_1 + k_2 = 3\\k_1 + k_3 = 2\\k_1 - k_2 + 2k_3 = 1\end{cases}$ ，由第一個方程 $k_2 = 3 - k_1$ ，由第二個方程 $k_3 = 2 - k_1$ 。

將 $k_2 = 3 - k_1$ ， $k_3 = 2 - k_1$ 代入第三個方程 $k_1 - (3 - k_1) + 2(2 - k_1) = 1$ ，化簡得 $k_1 - 3 + k_1 + 4 - 2k_1 = 1$ ，等式恆成立，取 $k_1 = 1$ ，則 $k_2 = 2$ ， $k_3 = 1$ 。

所以矢量 $\alpha$ 在基 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 下的座標為 $(1,2,1)$ 。

7.判斷矢量組 $\alpha_1=(2,4,6)$ ， $\alpha_2=(3,6,9)$ ， $\alpha_3=(1,2,3)$ 的極大綫性無關組。

解：構成矩陣 $A = \begin{pmatrix}2&3&1\\4&6&2\\6&9&3\end{pmatrix}$ ，第二行減去第一行的2倍，第三行減去第一行的3倍，得到 $\begin{pmatrix}2&3&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ 。

可以發現任意一個非零矢量都可以作為極大綫性無關組，例如 $\alpha_1$ （或 $\alpha_2$ 或 $\alpha_3$ ），因為其餘矢量都可由它綫性表示（ $\alpha_2 = \frac{3}{2}\alpha_1$ ， $\alpha_3 = \frac{1}{2}\alpha_1$ ）。