线性筛和欧拉函数

1. 定义与用途

概念	定义	用途
线性筛	一种时间复杂度为 O(n) 的算法，用于高效筛选出所有小于等于 n 的素数。	生成素数表、辅助计算数论函数（如欧拉函数、莫比乌斯函数）。
欧拉函数 ϕ(n)ϕ(n)	表示小于 n 且与 n 互素的正整数的个数。	解决同余问题、RSA加密算法、组合数学问题（如欧拉定理）。

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2. 核心区别

维度	线性筛	欧拉函数
性质	一种算法（工具）	一种数论函数（数学对象）
功能	筛选素数，或辅助计算数论函数的值。	计算与 n 互质的数的个数。
时间复杂度	O(n)	计算单个 ϕ(n) 的时间复杂度为 O(n​)，但结合线性筛可优化为 O(n)。
输入输出	输入一个整数 n，输出所有素数或预处理数论函数的值。	输入一个整数 n，输出与 n 互质的数的个数。

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3. 联系

虽然线性筛和欧拉函数是独立的概念，但线性筛可以高效计算欧拉函数的值。
例如：使用线性筛法预处理欧拉函数 ϕ(n) 的步骤：

1. 初始化：对每个数 i，标记 ϕ(i)=i。

2. 筛法过程：

   • 当筛到素数 p 时，对所有 p 的倍数 i：

     • 如果 i 是素数 p 的首次倍数，则 ϕ(i)=ϕ(i/p)⋅p。

     • 如果 i 是素数 p 的非首次倍数，则 ϕ(i)=ϕ(i)⋅p。

4.代码示例

(1) 线性筛法筛选素数

vector<int> linear_sieve(int n) {
    vector<int> primes;
    vector<bool> is_prime(n + 1, true);
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (is_prime[i]) primes.push_back(i);
        for (int p : primes) {
            if (i * p > n) break;
            is_prime[i * p] = false;
            if (i % p == 0) break; // 关键：确保每个数只被最小素因子筛一次
        }
    }
    return primes;
}

(2) 线性筛法计算欧拉函数

vector<int> euler_phi_linear(int n) {
    vector<int> phi(n + 1), primes;
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (phi[i] == 0) { // i 是素数
            primes.push_back(i);
            phi[i] = i - 1; // 素数的欧拉函数值为 i-1
        }
        for (int p : primes) {
            if (i * p > n) break;
            if (i % p == 0) {
                phi[i * p] = phi[i] * p; // p 是 i 的最小素因子
                break;
            } else {
                phi[i * p] = phi[i] * (p - 1); // p 与 i 互质
            }
        }
    }
    return phi;
}

5. 总结

线性筛	欧拉函数
是工具（算法），用于生成素数或辅助计算数论函数。	是数学对象，表示与 n 互质的数的个数。
时间复杂度为 O(n)，高效但需要预处理。	单独计算时间复杂度较高，但结合线性筛可优化。
核心是筛法的实现逻辑（如标记合数）。	核心是数论性质（如互质条件）。

关键点：
线性筛是算法，欧拉函数是函数。线性筛可以用于高效计算欧拉函数，但两者本质不同。