矩阵指数的定义和基本性质
1. 矩阵指数的定义
矩阵指数 e A t e^{\boldsymbol{A}t} eAt 定义为幂级数的形式：
e A t = ∑ k = 0 ∞ ( A t ) k k ! e^{\boldsymbol{A}t} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(\boldsymbol{A}t)^k}{k!} eAt=k=0∑∞k!(At)k
当 A \boldsymbol{A} A 为 n × n n \times n n×n 方阵时，该级数是有限项的收敛矩阵级数。
2. 初始条件
矩阵指数在 t = 0 t=0 t=0 时为单位矩阵：
e A ⋅ 0 = I e^{\boldsymbol{A} \cdot 0} = \boldsymbol{I} eA⋅0=I
3. 矩阵指数的导数
矩阵指数的导数与矩阵本身的乘积满足以下关系：
d d t e A t = A e A t \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} e^{\boldsymbol{A}t} = \boldsymbol{A} e^{\boldsymbol{A}t} dtdeAt=AeAt
4. 逆矩阵
矩阵指数的逆矩阵为负指数：
( e A t ) − 1 = e − A t \left(e^{\boldsymbol{A}t}\right)^{-1} = e^{-\boldsymbol{A}t} (eAt)−1=e−At
这等价于在级数定义中将 A \boldsymbol{A} A 的符号取反。
5. 矩阵指数的乘积（换元法）
对于任意标量 t 1 t_1 t1 和 t 2 t_2 t2，矩阵指数满足：
e A t 1 e A t 2 = e A ( t 1 + t 2 ) e^{\boldsymbol{A}t_1} e^{\boldsymbol{A}t_2} = e^{\boldsymbol{A}(t_1 + t_2)} eAt1eAt2=eA(t1+t2)
特别地，当 t 2 = − t 1 t_2 = -t_1 t2=−t1 时，得到：
e A t e − A t = I e^{\boldsymbol{A}t} e^{-\boldsymbol{A}t} = \boldsymbol{I} eAte−At=I
6. 矩阵相似性
如果矩阵 A \boldsymbol{A} A 和 B \boldsymbol{B} B 相似（即 B = P − 1 A P \boldsymbol{B} = \boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} B=P−1AP），则：
e B t = P − 1 e A t P e^{\boldsymbol{B}t} = \boldsymbol{P}^{-1} e^{\boldsymbol{A}t} \boldsymbol{P} eBt=P−1eAtP
7. 对角化情况
如果矩阵 A \boldsymbol{A} A 可对角化，即存在可逆矩阵 P \boldsymbol{P} P 和对角矩阵 Λ \boldsymbol{\Lambda} Λ 使得：
A = P Λ P − 1 \boldsymbol{A} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{P}^{-1} A=PΛP−1
则：
e A t = P e Λ t P − 1 e^{\boldsymbol{A}t} = \boldsymbol{P} e^{\boldsymbol{\Lambda}t} \boldsymbol{P}^{-1} eAt=PeΛtP−1
其中：
e Λ t = diag ( e λ 1 t , e λ 2 t , … , e λ n t ) e^{\boldsymbol{\Lambda}t} = \text{diag}\left(e^{\lambda_1 t}, e^{\lambda_2 t}, \dots, e^{\lambda_n t}\right) eΛt=diag(eλ1t,eλ2t,…,eλnt)
8. 级数截断
当矩阵 A \boldsymbol{A} A 为幂零矩阵（即某次幂后全零，如 A k = 0 \boldsymbol{A}^k = 0 Ak=0），矩阵指数成为一个有限项的多项式。
9. 复合性质
如果矩阵 A \boldsymbol{A} A 和 B \boldsymbol{B} B 满足 [ A , B ] = A B − B A = 0 [\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}] = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B} - \boldsymbol{B}\boldsymbol{A} = 0 [A,B]=AB−BA=0（即它们可交换），则：
e ( A + B ) t = e A t e B t e^{(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B})t} = e^{\boldsymbol{A}t} e^{\boldsymbol{B}t} e(A+B)t=eAteBt
10. 拉普拉斯变换
矩阵指数的拉普拉斯变换为：
L [ e A t ] = ( s I − A ) − 1 \mathcal{L}[e^{\boldsymbol{A}t}] = (s\boldsymbol{I} - \boldsymbol{A})^{-1} L[eAt]=(sI−A)−1
其中 I \boldsymbol{I} I 为单位矩阵。
这些性质为矩阵指数在理论分析和实际计算中提供了强大的工具，尤其是在线性系统分析和微分方程的求解中。