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凸集和凸函数

news 来源：原创 2025/5/16 18:05:01

在欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$ 中，一个集合 $C \subset \mathbb{R}^n$ 称为凸集，如果对于任意两点 $x, y \in C$ 以及任意 λ∈[0,1] ，线段上的所有点仍然在 C 内，即：

$\lambda x + (1 - \lambda) y \in C$

这表示如果连接集合内任意两点的线段仍然完全包含在该集合内，则该集合是凸的。

欧几里得空间中的凸集：
- 凸集（是凸的）：
  - 闭球（单位圆盘、单位球）
  - 多面体（如三角形、矩形、多边形）
  - 半空间
- 非凸集（不是凸的）：
  - 环形（如空心圆盘）
  - 星形区域（如五角星）
  - 有凹陷的区域

设 C 是一个凸集，一个函数 $f: C \to \mathbb{R}$ 称为凸函数，如果对于任意 $x, y \in C$ 和任意 λ∈[0,1] ，满足：

$f(\lambda x + (1 - \lambda) y) \leq \lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y)$

这表示函数的图像总是在连接任意两点的弦线之下。

凸函数（是凸的）：
- 二次函数 $(x) = x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上是凸的。
- 指数函数 $f(x) = e^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上是凸的。
- 范数函数 $f(x) = \|x\|_2$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上是凸的。
非凸函数（不是凸的）：
- 正弦函数 f(x)=sin⁡x 在全体实数上不是凸的。
- 双峰函数 $f(x) = -x^2 + 4x - 3$ 不是凸的。

二阶可微判别法： 若 f 在凸集 C 内可微，且其 Hessian 矩阵 $H_f(x)$ 半正定（即 $H_f(x) \geqslant 0$ ，则 f(x) 是凸函数。
局部最小即全局最小： 若 f(x) 是凸的，则局部最小点必然是全局最小点。

比较项	凸集（Convex Set）	凸函数（Convex Function）
定义	连接任意两点的线段仍在集合内	连接任意两点的弦线在函数图像上方
对象	几何上的点集（集合）	作用在集合上的数值函数
几何直观	形状保持“凸”的区域	图像曲线在弦线下方
数学表达	$\lambda x + (1-\lambda) y \in C$	$f(\lambda x + (1-\lambda) y) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y)$