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神聖的綫性代數速成例題7. 逆矩陣的性質、逆矩陣的求法

news 来源：原创 2025/5/17 13:56:13

逆矩陣的性質：
- 若 $A$ 可逆，則 $(A^{-1})^{-1}=A$ 。
- 若 $A$ 可逆， $k\neq0$ ，則 $(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$ 。
- 若 $A$ ， $B$ 均可逆且為同階方陣，則 $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ 。
- 若 $A$ 可逆，則 $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$ 。
逆矩陣的求法：
- 伴隨矩陣法：對於 $n$ 階方陣 $A$ ，若 $\vert A\vert\neq0$ ，則 $A^{-1}=\frac{1}{\vert A\vert}A^{*}$ ，其中 $A^{*}$ 是 $A$ 的伴隨矩陣。
- 初等行變換法：對增廣矩陣 $(A\vert I)$ 進行初等行變換，將 $A$ 化為單位矩陣I，此時增廣矩陣右側的矩陣即為 $A^{-1}$ ，即 $(A\vert I)\xrightarrow{LP}(I\vert A^{-1})$ (LP為初等行變換法)。

例題解析：

1.已知 $A$ 是可逆方陣，且 $A^{-1}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ ，求 $A$ 。

解：根據 $(A^{-1})^{-1}=A$ ，求 $\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ 的逆矩陣。

先求其行列式 $det\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=1\times4 - 2\times3 = - 2$ ，伴隨矩陣為 $\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$ ，

所以 $A=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$ 。

2.已知 $A$ 是可逆的2階方陣， $A^{-1}=\begin{pmatrix}2&3\\4&5\end{pmatrix}$ ， $k = 2$ ，求 $(2A)^{-1}$ 。

解：根據 $(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$ ，可得 $(2A)^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2&3\\4&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&\frac{3}{2}\\2&\frac{5}{2}\end{pmatrix}$ 。

3.已知 $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ ， $B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}$ ，且 $A$ ， $A$ 均可逆，求 $(AB)^{-1}$ 。

解：先求 $A^{-1}$ ， $\vert A\vert=1\times4 - 2\times3 = - 2$ ， $A$ 的伴隨矩陣 $A^{*}=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$ ， $A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$ 。

再求 $B^{-1}$ ， $\vert B\vert=5\times8 - 6\times7 = - 2$ ，B的伴隨矩陣 $B^{*}=\begin{pmatrix}8&-6\\-7&5\end{pmatrix}$ ， $B^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}8&-6\\-7&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4&3\\\frac{7}{2}&-\frac{5}{2}\end{pmatrix}$ 。

根據 $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ ， $B^{-1}A^{-1}=\begin{pmatrix}-4&3\\\frac{7}{2}&-\frac{5}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8 + \frac{9}{2}&-4 - \frac{3}{2}\\-7 - \frac{15}{4}&\frac{7}{2}+\frac{5}{4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{25}{2}&-\frac{11}{2}\\-\frac{43}{4}&\frac{19}{4}\end{pmatrix}$ 。

4.已知 $A$ 是可逆方陣， $A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\2&3\end{pmatrix}$ ，求 $(A^T)^{-1}$ 。

解：根據 $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$ ， $(A^{-1})^T=\begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix}$ ，所以 $(A^T)^{-1}=\begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix}$ 。

5.用伴隨矩陣法求 $A=\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}$ 的逆矩陣。

解：先求 $\vert A\vert=2\times2 - 1\times3 = 1$ ，再求代數餘子式， $A_{11}=2$ ， $A_{12}=-3$ ， $A_{21}=-1$ ， $A_{22}=2$ ，伴隨矩陣 $A^{*}=\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}$ ，所以 $A^{-1}=\frac{1}{\vert A\vert}A^{*}=\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}$ 。