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盖革管死区时间导致脉冲丢失分析

news 来源：原创 2025/5/19 10:57:57

下面我们详细分析一下这种情况。假设盖革计数器为非延伸型（non-paralyzable），其测量到的计数率 $n$ 与真实计数率 $m$ 的关系为

$\frac{m}{1 + m \tau}$

其中死区时间 $\tau = 1.8\times10^{-4}s$ （即 180 μs）。

因此，丢失的脉冲数为： $\frac{m}{1 + m\tau} = \frac{m^2\tau}{1 + m\tau}$

分析

低计数率区域 $\ m\tau \ll 1$
当 $m\tau$ 很小的时候，可以将分母 $1+m\tau$ 近似为 1，此时

$\approx m^2 \tau$
这说明在低计数率下，丢失脉冲数大致按照 $m^2$ 的关系增长。例如，当
$m = 1000$ CPS 时，
$\approx 1000^2 \times 1.8\times10^{-4} \approx 180\, \text{CPS}$

这里的数值（约 152 CPS）与精确计算（1000/(1+0.18)=847.5 CPS，丢失约152.5 CPS）是近似一致的。
高计数率区域 $m\tau \gg 1$
当 $m\tau$ 非常大时，分母 $1+m\tau$ 可近似为 $m\tau$ ，此时
$\approx \frac{m}{m\tau} = \frac{1}{\tau}$
即测量到的计数率趋于饱和值 $1/\tau$ ；而丢失脉冲则为
$\approx m - \frac{1}{\tau}$
随着 $m$ 的进一步增大，丢失脉冲数量基本呈线性增长，说明大部分事件被丢失。例如当 $m = 10000$ CPS 时，
$\approx \frac{10000}{1+1.8} \approx 3571\, \text{CPS} \quad \text{，} \quad L(10000) \approx 10000 - 3571 \approx 6429\, \text{CPS}$
拐点分析
拐点出现在 $m\tau = 1$ ，也就是
$\frac{1}{\tau} \approx 5555\, \text{CPS}.$
在这一点上，测量值 $n$ 为 $m /2$ ，即有 50% 的事件被丢失。

结论

推导公式正确：
公式 $\frac{m}{1+m\tau}$ 和 $\frac{m^2\tau}{1+m\tau}$ 是正确的，适用于非延伸型死区模型。
低计数率时：
丢失脉冲数量近似 $\approx m^2 \tau$ ，呈二次增长。
高计数率时：
测量值趋于饱和 $\approx 1/\tau$ ，而丢失脉冲数近似为 $\approx m - \frac{1}{\tau}$ ，呈线性增长。
拐点位置：
当 $1/\tau$ 时，丢失事件占到总事件的 50%。

总体来说，这个分析是正确的，关键在于理解非延伸型计数器在高计数率下饱和的现象，以及低计数率下二次项的效应。

下面给出一个 HTML 的示例代码，利用 Chart.js 绘制真实计数率 $m$ 与丢失脉冲数 $L (m)$ 及测量计数率 $n (m)$ 的曲线图。你可以将下面的代码保存为一个 .html 文件，然后在浏览器中打开以查看图形。


<!DOCTYPE html>
<!DOCTYPE html>
<html lang="zh">
<head>
  <meta charset="ANSI">
  <title>改进版盖革计数器曲线</title>
  <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/chart.js"></script>
  <style>
    body { font-family: Arial, sans-serif; }
    .container { width: 800px; margin: 50px auto; }
  </style>
</head>
<body>
  <div class="container">
    <canvas id="myChart" width="800" height="600"></canvas>
  </div>
  <script>
    // 死区时间 tau，单位为秒 (180 μs)
    const tau = 1.8e-4;
    // 安全阈值设为 0.8 * (1/τ)
    const saturationThreshold = 0.8 * (1 / tau); // ≈ 4444 CPS

    // 定义数据数组
    const measuredCPS = [];
    const measuredCurve = [];
    // 此处将真实CPS改为对象形式，包含 value 和 reliable 字段
    const compensatedCPS = [];
    const lostCPS = [];

    // 设定 n 的范围，从 0 到 5000，每隔 50 取一个数据点
    for (let n = 0; n <= 5000; n += 50) {
      measuredCPS.push(n);
      measuredCurve.push(n);  // 实测值直接为 n

      if (n * tau < 1) {
        // 计算真实CPS
        let m = n / (1 - n * tau);
        // 判断是否接近饱和区
        let reliable = n < saturationThreshold;
        compensatedCPS.push({ value: m, reliable: reliable });
        // 丢失脉冲数量 L = m - n
        lostCPS.push(m - n);
      } else {
        compensatedCPS.push(null);
        lostCPS.push(null);
      }
    }

    // 为绘图准备数据：将 compensatedCPS 分为可靠和不可靠两组
    const compensatedReliable = compensatedCPS.map(item => item ? (item.reliable ? item.value : null) : null);
    const compensatedUnreliable = compensatedCPS.map(item => item ? (!item.reliable ? item.value : null) : null);

    // 使用 Chart.js 绘制折线图
    const ctx = document.getElementById('myChart').getContext('2d');
    const chart = new Chart(ctx, {
      type: 'line',
      data: {
        labels: measuredCPS,
        datasets: [
          {
            label: '实测CPS (n)',
            data: measuredCurve,
            borderColor: 'blue',
            borderWidth: 2,
            fill: false,
            pointRadius: 0,
          },
          {
            label: '丢失CPS',
            data: lostCPS,
            borderColor: 'red',
            borderWidth: 2,
            fill: false,
            pointRadius: 0,
          },
          {
            label: '补偿后的真实CPS (可靠数据)',
            data: compensatedReliable,
            borderColor: 'green',
            borderWidth: 2,
            fill: false,
            pointRadius: 0,
          },
          {
            label: '补偿后的真实CPS (饱和区，不可靠)',
            data: compensatedUnreliable,
            borderColor: 'orange',
            borderWidth: 2,
            borderDash: [5, 5],
            fill: false,
            pointRadius: 0,
          }
        ]
      },
      options: {
        plugins: {
          title: {
            display: true,
            text: '改进版：盖革计数器实测CPS、丢失脉冲及补偿后的真实CPS'
          },
        },
        scales: {
          x: {
            title: {
              display: true,
              text: '实测CPS (n)'
            }
          },
          y: {
            title: {
              display: true,
              text: 'CPS'
            }
          }
        },
        elements: {
          line: {
            tension: 0.1
          }
        }
      }
    });

    // （可选）如果需要使用瘫痪模型，可以添加类似如下迭代函数：
    /*
    function calculateMParalyzable(n, tau) {
      // 初始估计值设为 n
      let m = n;
      // 使用迭代法求解 m = n * exp(m * tau)
      for (let i = 0; i < 100; i++) {
        m = n * Math.exp(m * tau);
      }
      return m;
    }
    */
  </script>
</body>
</html>

总结：
该分析基于非延伸型死区模型给出了正确的公式及其物理意义：在低计数率下丢失脉冲数近似 $m^2\tau$ （二次增长），而在高计数率下测量值饱和（趋向 $1/\tau$ ），丢失脉冲数近似 $1/\tau$ （线性增长）。图示代码展示了这两个变量随真实计数率的变化趋势。

当测量值 $n$ 接近盖革计数器的最大有效计数率 $1/\tau$ （约 5555 CPS）时，确实会遇到系统饱和的问题。在这种情况下，即使实际的粒子计数率（真实计数率 (m)）很高，测量值 (n) 也会被限制在一个固定的值，无法反映真实的高计数率。这是因为在高计数率下，粒子事件之间的时间间隔变得非常短，导致盖革计数器的死区时间无法及时恢复，进而丢失了大量的脉冲。

关键点：

当 $\approx 5555 \ \text{CPS}$ 时，系统已经达到饱和状态，此时无论真实计数率 (m) 如何增加，测量值 (n) 都不会继续增加，始终停留在最大值 $1/\tau \approx 5555 \ \text{CPS}$ 左右。
无法从测量值 $n$ 反推出更高的真实计数率 $m$ ，因为当 $\geq 5555\ \text{CPS}$ 时，任何 $m$ 的增大都不会导致 $n$ 的增大，公式 $\frac{n}{1 - n \tau}$ 会出现问题，导致计算出的 $m$ 值趋向于无穷大，这时是没有意义的。

补偿措施：

设计上的补偿：可以通过减小死区时间 $\tau$ 来提高计数器的响应速度，例如使用具有较短死区时间的探测器（例如， $\tau = 50\ \mu s$ 。这可以显著提高系统在高计数率下的性能。
使用多探测器或多通道系统：通过多个探测器或使用不同类型的计数器，并结合专门的算法来估算丢失的脉冲，可以改善在高计数率下的准确性。
避免高计数率的测量：在高辐射环境中，设计时需确保计数器的测量范围不超过其有效计数率。可以通过合理选择探测器和优化测量方案来避免接近系统饱和点的情况。