数据结构：栈的应用举例——进制转换

这里用进制转换说明栈的应用，不是单纯讲解进制转换方法

进位制又称进制，是一种记数方式，利用这种“记数法”，可以使用有限种“数字符号”来表示所有的数值。

一种进位制中可以使用的数字符号的数目，称为这种进位制的基数或底数。若一个进位制的基数为 $n$ ，即可称之为 $n$ 进位制，简称 $n$ 进制。

下表中列出了常见进位制。

底/基数	名称	描述
10	十进制	世界上最常见的算术运算位进制系统，用于大多数机械计数器。其十位数字为 “0-9”。
12	十二进制	因为有多个约数如 2，3，4和 6 的易于整除性，它传统上用以表示数量和总数，如“一打”即为十二个单位。十二位数字为“0-9”，接着是“A”和“B”。
20	二十进制	因为有多个约数如 2，4，5 和 10 的易于整除性，在几种传统文化中的数字系统，仍然被用于计数。二十位数字为“0-9”，接着是“A-J”。
2	二进制	几乎所有的电子计算机内部都使用二进位制。
16	十六进制	用于计算机领域。十六位数字为“0-9”，接着是“A-F”。
8	八进制	用于计算机领域，八位数字为“0-7”。
60	六十进制	起源于古代苏美尔并传给巴比伦人。用作极坐标系（度，分，秒）和时间测量（小时，分钟和秒）的基础。

同一个数字，可以用不同进制表示，也就是数字可以在不同进制之间转换。进制转换的方法较多，但这不是本节重点，本节要重点讲解的是将十进制向其他进制转换所使用的一种方法，称为除余法。例如十进制的 19 转换为二进制，过程如图 4.4.1 所示：

图 4.4.1 十进制数转换为二进制数

用 19 对 2 做除法得到余数 1，再用商对 2 做除法得到余数 1，再用商对 2 做除法得到余数 0，……，直到最后商为 0，余数为 1。最终，用所有的余数逆序串联在一起，就是最终的结果 10011。

将上述过程联系到栈——注意栈的特点：先进后出。如果得到了第一个余数 1，把它压入到栈；再得到第二个余数 1，还入栈；得到第三个余数 0 ，继续入栈；……，直到最后的商为 0 时的余数 1 压入栈。这样所得到的栈的栈顶元素就是最后的商为 0 时的余数 1 。然后栈中的元素（余数）依次出栈，就得到了图 4.4.1 所示的结果。

这种方法，适用于将十进制向任何进制转换，例如将十进制的 100 转换为八进制，过程如图 4.4.2 所示：

图 4.4.2 十进制数转换为八进制数

下面以十进制转换为二进制为例，演示使用栈实现进制转换的算法。

【算法步骤】

1. 初始化一个空栈 S 。
2. 当十进制数 N 非零时，循环执行以下操作：
   • 把 N 与 2 求余得到的二进制数压入栈 S；
   • N 更新为 N 与 2 的商。
3. 当 S 非空时，循环执行以下操作：
   • 弹出栈顶元素 e ；
   • 输出 e 。

【算法描述】

本算法中的栈，使用顺序栈或者链栈均可，下面以顺序栈为例。

void conversion(int N){
    //对任意一个非负十进制数，打印输出与其等值的二进制数
    InitStack(S);  //初始化空栈 S（见 043 节）
    while(N){//当 N 非零时，循环
        Push(S, N % 2); //把 N 与 2 求余，得到的二进制数压入栈 S
        N = N / 2; //N 更新为 N 与 2 的商
    }
    while(S.top != S.base){//当栈 S 非空时
        Pop(S, e);  //栈顶元素出栈
        cout<<e;  //输出 e
    }
}

【算法分析】

• 时间复杂度

  当 while(N) 第 1 执行，N 就是初试的问题规模值；第 2 次执行时，N = N / 2 ；第 $r$ 次执行 while 循环语句时，其参数值为 $N/(2^{r-1})$ 。注意，在 C 语言中计算 N / 2 ，其结果即为 $\lfloor \frac{N}{2^{r-1}}\rfloor$ 。while(N) 执行的条件是 N 非零，即 $N÷2$ 的商非零，亦即 $N>2^{r-1}$ ，两边取对数得：$r<{\log }_{2}N+1$ ，也就是循环语句执行次数的上限函数是 ${\log }_{2}N+1$ 。所以本算法的时间复杂度是 $O({\log }_{2}N)$ 。

  如果不是转换为二进制，比如转换为 8 进制，则要执行 N = N / 8 ，于是时间复杂度为 $O({\log }_{8}N)$ 。

• 空间复杂度

  由上述分析可知，循环语句执行次数的上限是 ${\log }_{2}N+1$ ，每执行一次循环语句，都会执行一次 Push(S, N % 2) 。所以，临时存储余数的栈的长度为 ${\log }_{2}N+1$ ，所以空间复杂度是 $O({\log }_{2}N)$ 。