ACwing—跳台阶（bfs+dp+递归+记忆化搜索算法）
题目描述
一个楼梯共有 n级台阶，每次可以走一级或者两级，问从第0级台阶走到第n级台阶一共有多少种方案。
输入格式
共一行，包含一个整数 n
输出格式
共一行，包含一个整数，表示方案数。
数据范围
1≤n≤45
样例
输入样例：
5
输出样例：
8
代码一（暴力的BFS）：
#include <stdio.h>
int climbStairs(int x) {
if (x == 1) {
return 1;
}
else if (x == 2) {
return 2;
}
else {
return climbStairs(x - 1) + climbStairs(x - 2);
}
}
int main() {
int n;
printf("请输入楼梯的阶数：");
scanf("%d", &n);
int ways = climbStairs(n);
printf("%d 阶楼梯一共有 %d 种跳法。\n", n, ways);
return 0;
}
代码过程分析：
climbStairs(5)
/ \
/ \
climbStairs(4) climbStairs(3)
/ \ / \
/ \ / \
climb(3) climb(2) climb(2) climb(1)
/ \ | | |
/ \ | | |
c(2) c(1) 2 2 1
| |
2 1climbStairs(5)
= climbStairs(4) + climbStairs(3)
= [climbStairs(3) + climbStairs(2)] + [climbStairs(2) + climbStairs(1)]
= [ [climbStairs(2) + climbStairs(1)] + 2 ] + [2 + 1]
= [ [2 + 1] + 2 ] + 3
= [3 + 2] + 3
= 5 + 3
= 8步骤分解
-
climbStairs(5)-
调用
climbStairs(4)和climbStairs(3)，等待它们的返回值。
-
-
计算
climbStairs(4)：-
调用
climbStairs(3)和climbStairs(2)，等待返回值。 -
计算
climbStairs(3)：-
调用
climbStairs(2)和climbStairs(1)。-
climbStairs(2)返回 2（基准条件）。 -
climbStairs(1)返回 1（基准条件）。
-
-
合并结果：
2 + 1 = 3。
-
-
计算
climbStairs(2)：-
直接返回 2（基准条件）。
-
-
合并结果：
3 + 2 = 5。 -
climbStairs(4)返回 5。
-
-
计算
climbStairs(3)：-
调用
climbStairs(2)和climbStairs(1)。-
climbStairs(2)返回 2。 -
climbStairs(1)返回 1。
-
-
合并结果：
2 + 1 = 3。 -
climbStairs(3)返回 3。
-
-
合并最终结果：
-
climbStairs(5) = climbStairs(4) + climbStairs(3) = 5 + 3 = 8。 -
对结果取模
1e9 + 7（因8 < 1e9 + 7，结果仍为 8）。
-
代码二（记忆化搜索）：
#include <stdio.h>
const int N=45;
int mem[N];
int climbStairs(int x) {
if(mem[x]) return mem[x];
int sum=0;
if (x == 1) {
sum=1;
}
else if (x == 2) {
sum=2;
}
else {
sum=climbStairs(x - 1) + climbStairs(x - 2);
}
mem[x]=sum;
return sum;
}
int main() {
int n;
printf("请输入楼梯的阶数：");
scanf("%d", &n);
int ways = climbStairs(n);
printf("%d 阶楼梯一共有 %d 种跳法。\n", n, ways);
return 0;
}
代码过程分析：
climbStairs(5) → 8
/ \
/ \
climbStairs(4) →5 [climbStairs(3) →3 (cached)]
/ \ / \
/ \ / \
climb(3)→3 climb(2)→2 climb(2)→2 climb(1)→1 (cached)
/ \
/ \
c(2)→2 c(1)→1 (cached)记忆化数组 mem 的最终状态
索引1 2 3 4 5
值 1 2 3 5 8
-
步骤分解
-
初始化全局数组
mem
所有元素初始值为0。 -
调用
climbStairs(5)-
检查
mem[5]是否为0（初始为0），进入计算分支。 -
递归调用
climbStairs(4) + climbStairs(3)。
-
-
计算
climbStairs(4)-
mem[4] = 0，进入计算分支。 -
递归调用
climbStairs(3) + climbStairs(2)。-
计算
climbStairs(3)：-
mem[3] = 0，进入计算分支。 -
递归调用
climbStairs(2) + climbStairs(1)。-
计算
climbStairs(2)：-
mem[2] = 0，赋值sum = 2，存入mem[2] = 2，返回2。
-
-
计算
climbStairs(1)：-
mem[1] = 0，赋值sum = 1，存入mem[1] = 1，返回1。
-
-
-
sum = 2 + 1 = 3，存入mem[3] = 3，返回3。
-
-
计算
climbStairs(2)：-
mem[2] = 2（已缓存），直接返回2。
-
-
-
sum = 3 + 2 = 5，存入mem[4] = 5，返回5。
-
-
计算
climbStairs(3)（在climbStairs(5)中）-
mem[3] = 3（已缓存），直接返回3。
-
-
合并结果
-
climbStairs(5) = 5 (climbStairs(4)) + 3 (climbStairs(3)) = 8。 -
存入
mem[5] = 8，最终返回8。
-
-
记忆化存储：每个
climbStairs(x)的结果存入mem[x]，避免重复计算。 -
递归逻辑：
-
climbStairs(x) = climbStairs(x-1) + climbStairs(x-2)（斐波那契数列）。 -
基准条件：
x=1返回1，x=2返回2。
-
代码三（递归（dp））：
#include <stdio.h>
const int N=45;
int f[N];
int n;
int main() {
scanf("%d",&n);
f[1]=1,f[2]=2;
if(n==1||n==2){
printf("%d",f[n]);
return 0;
}
for(int i=3;i<=n;i++){
f[i]=f[i-1]+f[i-2];
}
printf("%d",f[n]);
return 0;
}