动态规划----完全平方数（3种写法，逐步简化）

题目链接：完全平方数

完全平方数可以认为是完全背包问题。每一个平方小于n的平方数都是物品，而完全平方数之和n就是背包容量。每一个平方和都可以无限次使用。

写法1：把所有小于n的平方数存入数组nums,使用二维dp数组。

递推公式的推导可以看完全平方数

   int numSquares(int n) {
        int num = (int)sqrt(n);
        vector<int> nums(num, 0);
        //
        for(int i = 0; i<nums.size(); i++)
        {
            nums[i] = (i+1)*(i+1);
        }
        vector<vector<int>> dp(nums.size(), vector<int>(n+1, 0));
        //初始化第一列
        for(int i = 0; i<nums.size(); i++)
        {
            dp[i][0] = 0;
        }
        //初始化第一行
        for(int i=0; i<=n; i++)
        {
            dp[0][i] = i;
        }
        for(int i=1; i<nums.size(); i++)
        {
            for(int j=1; j<=n; j++)
            {
                if(j-nums[i]>=0)
                    dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-nums[i]]+1);
                else
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
            }
        }
        return dp[nums.size()-1][n];
    }

写法2：把所有小于n的平方数存入数组nums,使用一维dp数组。

int numSquares(int n) {
        int num = (int)sqrt(n);
        vector<int> nums(num, 0);
        for(int i = 0; i<nums.size(); i++)
        {
            nums[i] = (i+1)*(i+1);
        }
        vector<int> dp(n+1, 0);
        for(int i=0; i<=n; i++)
        {
            dp[i] = i;
        }
        for(int i=1; i<nums.size(); i++)
        {
            for(int j=1; j<=n; j++)
            {
                if(j-nums[i]>=0)
                    dp[j] = min(dp[j], dp[j-nums[i]]+1);
            }
        }
        return dp[n];
    }

写法三、不用nums数组，先遍历背包，再遍历物品。因为：

dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出， dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]。
此时我们要在所有满足i*i<j的i中选择最小的dp[j]，所以递推公式：dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);

int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i <= n; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 1; j * j <= i; j++) { // 遍历物品
                dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);
            }
        }
        return dp[n];
    }