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动态规划中的自底向上与自顶向下

news 来源：原创 2025/5/11 2:25:35

动态规划中的自顶向下与自底向上

一、动态规划的概念

动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种解决复杂问题的方法，它将问题分解为更小的子问题，通过解决这些子问题并存储其解，避免重复计算，从而高效地解决原问题。动态规划的核心思想是利用重叠子问题（overlapping subproblems）和最优子结构（optimal substructure）的性质。

二、自顶向下的概念

2.1 自顶向下的思考流程方式

自顶向下是一种递归的思考方式，从问题的最终目标出发，逐步分解为更小的子问题。在动态规划中，自顶向下通常结合记忆化技术（Memoization）来存储已解决的子问题，避免重复计算。

具体步骤：

定义问题的递归关系，明确如何将原问题分解为子问题。
使用递归函数实现，每次递归调用解决一个更小的子问题。
引入记忆化机制（如字典或数组），存储已解决的子问题的解，防止重复计算。

2.2 如何确定递归边界

递归边界是动态规划自顶向下方法中的关键部分。通常，我们需要考虑以下因素来确定递归终止条件：

问题的最小规模：如果问题规模已经不可再分（如 n = 0 或 n = 1），则可以直接返回结果。
子问题的已知解：如果某些情况的结果已知，可以作为递归边界，例如斐波那契数列中的 F(0) = 0 和 F(1) = 1。
避免无限递归：确保递归在每次调用时都朝着终止条件收敛，否则可能会导致无限递归。

2.3 结合 LeetCode 例题来讲解示范

例题：和为 n 的完全平方数的最少数量（Perfect Squares）

给定整数 n，返回和为 n 的完全平方数（如 1, 4, 9, 16,...）的最少数量。

代码分析：递归 + 记忆化搜索（@cache）求最少完全平方数

算法思路

这段代码使用 递归 + 记忆化搜索（Memoization）来解决最少完全平方数求和问题。
其核心思想是：

使用 dp(i, j) 表示：
- 在 1 到 i 之间选择完全平方数，使得它们的和等于 j，所需的最小数量。
递归状态转移方程：
- dp(i, j) = dp(i-1, j)：不使用 i^2 这个完全平方数的情况。
- dp(i, j) = dp(i, j - i^2) + 1：使用 i^2 这个完全平方数，并减少目标和 j。
- 取两者的最小值，即 dp(i, j) = min(dp(i-1, j), dp(i, j - i^2) + 1)。

代码

from functools import cache
from math import isqrt

def numSquares(n):
    @cache
    def dp(i, j):
        if i == 1:
            return j  # 只能用 1^2 拼出 j，则需要 j 个 1
        if i**2 > j:
            return dp(i-1, j)  # i^2 超过 j，不能使用它，只能使用更小的数
        
        return min(dp(i-1, j), dp(i, j - i**2) + 1)  # 选择是否使用 i^2
        
    return dp(isqrt(n), n)  # 从 sqrt(n) 开始递归

三、自底向上的概念

3.1 自底向上的思考流程方式

自底向上是一种迭代的思考方式，从最简单的子问题开始，逐步构建解决方案，直到解决原问题。在动态规划中，自底向上通常使用动态规划表（Dynamic Programming Table）来存储子问题的解。

具体步骤：

定义动态规划表的结构，确定如何存储子问题的解。
初始化动态规划表的初始值，通常是最简单的子问题的解。
使用循环逐步构建更大的解，直到解决原问题。

3.2 结合 LeetCode 例题来讲解示范

例题：和为 n 的完全平方数的最少数量

算法思路

这段代码使用 动态规划 来解决最少数量的完全平方数求和问题。核心思想是：

状态定义：
- 设 dp[i] 表示和为 ( i ) 的最少完全平方数的数量。
状态转移方程：
- dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1)，其中 ( j^2 ) 是不超过 ( i ) 的某个完全平方数。
- 通过遍历所有可能的完全平方数 ( j^2 )（( j \leq \sqrt{i} )），找到能得到最少数量的组合。
初始化：
- dp[0] = 0，因为和为 0 时不需要任何数。
- 其他 dp[i] 初始设为无穷大 (float('inf'))，表示尚未计算。
遍历顺序：
- i 从 1 到 n 遍历，计算 dp[i]。
- j 从 1 到 sqrt(i) 遍历，尝试所有可能的完全平方数 j * j，并更新 dp[i]。

自底向上解决方案：

import math

def numSquares(n):
    dp = [float('inf')] * (n + 1)
    dp[0] = 0
    
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, int(math.sqrt(i)) + 1):
            dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1)
    
    return dp[n]

分析：

动态规划表：使用数组 dp 存储每个斐波那契数的值。
初始化：dp[0] = 0，dp[1] = 1。
迭代构建：通过循环从 i=2 到 i=n 计算每个 dp[i]。

四、两者的对比，如何判断何时使用哪种方式

特性	自顶向下（Top-Down）	自底向上（Bottom-Up）
实现方式	递归调用	迭代实现
子问题存储	使用记忆化技术存储已解决的子问题	使用动态规划表存储子问题的解
问题分解	从最终目标分解为子问题	从最简单的子问题逐步构建解决方案
适用场景	适用于问题可以自然分解为子问题的情况	适用于子问题之间存在重叠且需要逐步构建的情况
时间复杂度	可能较高，但可以通过记忆化优化	通常较低，因为避免了递归调用的开销
空间复杂度	可能较高，因为需要存储递归调用栈和记忆化表	通常较低，因为只需要存储动态规划表