当前位置：首页 > news >正文

练习-纪律问题（幂运算）

news 来源：原创 2025/5/21 2:49:45

问题描述

一年级一班有 n 个小朋友坐成一排，统计了这些小朋友的爱好后，老师得知了他们一共有 m 种爱好，每个小朋友会拥有这些爱好中的一种。

如果相邻的小朋友爱好相同，那么他们上课时就会忍不住悄悄说话，违反课堂纪律。

老师想知道，一种有多少种状态可能发生违法记录的现象。

答案对 100003取模。

输入格式

输入包括两个整数 m,n含义见上文。

输出格式

输出一个整数，代表模 100003 的意义下共有多少种可能的答案。

样例输入

2 3

样例输出

分析问题：

总排列数：

每个小朋友有 m 种选择，n 个小朋友的总排列数为：

不发生违法记录的排列数：

如果没有任何相邻小朋友的爱好相同，那么：
- 第一个小朋友有 m 种选择。
- 第二个小朋友不能和第一个相同，有 m-1 种选择。
- 第三个小朋友不能和第二个相同，有 m-1 种选择。
- 以此类推，后面的每个小朋友都有 m-1 种选择。
因此，不发生违法记录的排列数为：

发生违法记录的排列数：

发生违法记录的状态数 = 总排列数 - 不发生违法记录的排列数。

解题代码：

#include <bits/stdc++.h>  
using namespace std;       
typedef long long ll;     
const int p = 100003;    

// 定义快速幂函数qmi(a, n)，用于计算a的n次方模p
ll qmi(ll a, ll n) {
  ll res = 1;              // 初始化结果为1
  while (n > 0) {          // 当n大于0时循环
    if (n & 1) {           // 如果n的最低位是1
      res = (res * a) % p; // 将res乘以a并取模p
    }
    a = (a * a) % p;       // 将a自乘并取模p
    n >>= 1;               // 将n右移一位，相当于n除以2
  }
  return res;              // 返回计算结果
}

int main() {
  ll m, n;                 
  cin >> m >> n;           

  // 计算所有可能的排列数zong，即m的n次方模p
  ll zong = qmi(m, n) % p;

  // 计算不发生违法记录的排列数buweifa，即m乘以(m-1)的(n-1)次方模p
  // 第一个小朋友有m种选择，后面的每个小朋友有(m-1)种选择（不能和前一个小朋友的爱好相同）
  ll buweifa = m * qmi(m - 1, n - 1) % p;

  // 计算发生违法记录的排列数ans，即总排列数减去不发生违法记录的排列数
  ll ans = zong - buweifa;

  // 如果ans为负数，则加上p以保证结果为正数
  if (ans < 0) {
    ans += p;
  }

  // 输出最终结果，即ans模p
  cout << ans % p;

  return 0;                // 程序正常结束
}

代码说明：

1. **为什么 `ll zong = qmi(m, n) % p` 和 `ll buweifa = m * qmi(m - 1, n - 1) % p` 要模上 `p`？**

原因：

qmi 函数内部已经取模：确实，qmi 函数在计算过程中会对每一步的结果取模 p，因此 qmi(m, n) 的结果已经是 m^n % p。
额外的取模是为了防止溢出：
- 在计算 buweifa = m * qmi(m - 1, n - 1) 时，qmi(m - 1, n - 1) 的结果可能已经接近 p（最大为 p-1）。
- 如果 m 也很大，那么 m * qmi(m - 1, n - 1) 的结果可能会超过 long long 的范围，导致溢出。
- 因此，在乘法操作后再次取模 p，可以确保结果不会溢出，同时保持结果的正确性。

总结：

qmi 函数内部的取模是为了保证幂运算的结果不溢出。
外部的取模是为了防止乘法操作后的结果溢出。

2. 为什么最后判断大小后不能直接输出 `ans`，而是输出 `ans % p`？

原因：

ans 的计算可能为负数：
- ans = zong - buweifa，如果 zong < buweifa，那么 ans 会是负数。
- 在模运算中，负数的结果需要调整为正数，因此代码中通过 if (ans < 0) ans += p; 来保证 ans 是非负数。
输出 ans % p 是为了确保结果在模数范围内：
- 即使 ans 已经是非负数，它仍然可能大于 p（例如，如果 zong 和 buweifa 都接近 p，ans 可能接近 2p）。
- 输出 ans % p 可以确保结果始终在 [0, p-1] 的范围内，符合题目的要求。