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深度学习Week1--数学基础 + 机器学习基础

news 2025/11/16 15:13:26

前言

🎯 学习目标

建立深度学习所需的基础数学直觉
知道什么是“模型、参数、损失函数、梯度下降”
入门机器学习的最基本流程

📌 本周必须搞懂

线性代数：向量、矩阵、矩阵乘法
微积分：偏导、链式法则
概率：高斯分布、期望、方差
机器学习流程：训练 → 验证 → 测试
什么是“过拟合、欠拟合”

🎬 推荐学习资源

线性代数可视化（强推）
B站：搜索 “3Blue1Brown 线性代数”

🧠 学完后你应该能回答

为什么深度学习需要矩阵乘法？
什么是梯度？为什么梯度下降能优化模型？
标准差和方差是什么？
什么是训练集 / 验证集 / 测试集？

🧪 实践任务

写一个简单的线性回归（不用 PyTorch，用 Python 实现）
- 用梯度下降拟合 y = 3x + 1
- 手写损失函数、手写梯度
画出损失下降曲线（matplotlib）

1. 线性代数

线性组合，张成的空间与基

张成的空间？

1.1 基

其他任何向量都可以表示为基向量的线性组合。

线性无关、线性相关？

1.2 矩阵乘法

一个二维线性变换仅由4个数字完全确定，变换后 $\overrightarrow{i}$ 的两个坐标和变换后 $\overrightarrow{j}$ 的两个坐标。

把坐标包裹在2✖️2的格子中，即矩阵。

矩阵向量乘法就是计算线性变换作用于给定向量的一种途径（一个矩阵✖️一个向量，就是将线性变换作用于该向量）

矩阵乘法。交换律❌ 结合律✅

✅结合律-- (AB)C=A(BC) 变换的顺序不同，但是变换之后的结果还是一样的

❌交换律-- AB $\neq$ BA （第一个矩阵输出的基向量方向不同，第二个矩阵作用在不同方向上，结果就不同）（保留）

三维空间的线性变换也类似。

📍矩阵乘法本质上是：

把输入向量 x 投影到新的特征空间。

神经网络就是不断改变数据的空间表示 → 提取特征。

1.3 行列式

矩阵所带来的线性变换使得一个给定区域面积增大或者减小的比例。（三维就是体积）

二维行列式=0，说明将平面压缩到一条线上，甚至是一个点上。（三维空间也是，三维行列式=0，说明将空间压缩至一个平面或者一条线，甚至是一个点上）

--也就是说知道一个矩阵的行列式是否为0，可以知道这个矩阵代表的变换是否将空间压缩到更下的维度上。

行列式有正有负，那么行列式为负代表什么呢？

初始状态 $\overrightarrow{j}$ 在 $\overrightarrow{i}$ 的左侧

变换后 $\overrightarrow{j}$ 在 $\overrightarrow{i}$ 的右侧，说明空间的定向发生了改变

如果变换后，还是可以这么做，说明定向没有改变，行列式为正。

1.4 线性方程

求救方程意味着去寻找一个向量 $\overrightarrow{x}$ ，使得它在变换后和 $\overrightarrow{v}$ 重叠。

行列式不等于0 （对于二维来说，就说明没有压缩成一条直线或者一个点），说明只有一个向量和v重叠，并且可以逆向进行变换找到这个向量。

（det(A) $\neq$ 0，A可逆）

行列式=0，没有逆变换（二维，没有办法将一条线解压为一个平面），也可能有解

$\overrightarrow{v}$ 刚好落到压缩的直线上（det(A)==det(A, $\overrightarrow{v}$ ))，就有解，否则没有解。

当v为零向量时，零空间就是这个向量方程所有可能的解。

1.5 逆矩阵

$A^{-1}A$ =一个什么都不做的矩阵，保持 $\overrightarrow{i}$ 和 $\overrightarrow{j}$ 不变。

1.6 秩

变换后空间的维数

当秩与列数相等，秩达到最大值，称为满秩。

1.7 零空间

对于变换后的一些向量落在零向量上，零空间就是这些向量所构成的空间。

2. 微积分

2.1 偏导数

偏导数是在多变量函数中，只改变一个变量时，函数的变化率。

2.2 链式求导

深度学习的网络层层嵌套，需要用链式法则从输出把梯度传回输入。

3. 概率论

3.1 高斯分布（正态分布）

3.2 期望

4. 反向传播

5. 数据集

训练集：训练模型，更新参数。

验证集：在训练过程中用于调参数（超参数）、早停、选择最优模型。

测试集：评估模型在没有见过的数据集上的性能。

6. 过拟合和欠拟合

6.1 过拟合

在训练集上效果好，在测试集上效果不好。说明模型在“记住训练集”，而不是“学会泛化”。

6.1.1 原因

模型太复杂
数据太少
参数太多
训练太久
特征噪声大

6.1.2 解决方法

数据增强（最有效）
翻转、旋转、裁剪、加噪声
Dropout（随机屏蔽神经元）
L2 正则化（weight decay）
降低模型容量（减少层数或参数）
早停 Early stopping
增加训练数据

6.2 欠拟合

训练集上的效果都不好 —— 模型太弱或训练不足

7. 梯度下降

梯度 = 多变量函数的“方向导数”，代表函数增长最快的方向。

7.1 深度学习中的梯度

深度学习的目标是让损失函数 L(θ) 尽可能小，
这里 θ 是所有模型参数（权重）。

L(θ)：

高 → 模型表现差
低 → 模型表现好

每次训练的关键是：
找到 L(θ) 下降最快的方向。

损失函数下降最快的方向 = 负梯度方向 −∇L(θ)

这就是“梯度下降”（Gradient Descent）。

7.2 梯度下降如何优化模型？

梯度告诉模型：参数往哪个方向改会让损失变小。

每一步更新：

θ=θ−η⋅∇L(θ)

其中

θ：模型参数
η：学习率
∇L：梯度

理解：

如果梯度很大 → 表示“损失增加得很快” → 用大步来修正
如果梯度很小 → 表示“接近最低点” → 用小步修正

最终，参数会“走向山谷底”（最优点）。

沿着 负梯度方向 能让损失函数下降得最快，最终找到最小值附近的点。

8.实践

框架

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# ================================
# 1. 生成数据
# ================================
# y = 3x + 1，加上一点随机噪声会更真实# TODO：生成 100 个 x 数据（建议使用 np.linspace）
# x = ?# TODO：生成 y 数据（y = 3x + 1 + 噪声）
# y = ?# ================================
# 2. 初始化参数
# ================================
# TODO：初始化 w 和 b（随机数即可，例如 0）
# w = ?
# b = ?learning_rate = 0.01
epoch = 200loss_history = []# ================================
# 3. 定义预测函数
# ================================
def predict(x, w, b):# TODO：返回 wx + b# return ?pass# ================================
# 4. 定义损失函数（MSE）
# ================================
def compute_loss(y_pred, y_true):# TODO：写出均方误差 MSE# return ?pass# ================================
# 5. 手写计算梯度
# ================================
def compute_gradients(x, y_true, y_pred):# TODO：#  ∂L/∂w = (2/n) * sum( x * (y_pred - y_true) )#  ∂L/∂b = (2/n) * sum( y_pred - y_true )# return dw, dbpass# ================================
# 6. 梯度下降循环
# ================================
for i in range(epoch):# TODO：预测# y_pred = ?# TODO：计算损失# loss = ?# loss_history.append(loss)# TODO：计算梯度# dw, db = ?# TODO：更新参数# w = ?# b = ?# 每 20 次打印一次当前参数if i % 20 == 0:print(f"Epoch {i}: loss={loss:.4f}, w={w:.4f}, b={b:.4f}")# ================================
# 7. 绘制损失下降曲线
# ================================
plt.plot(loss_history)
plt.xlabel("Epoch")
plt.ylabel("Loss")
plt.title("Loss Curve")
plt.show()print("Final w =", w)
print("Final b =", b)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# ================================
# 1. 生成数据
# ================================
# y = 3x + 1，加上一点随机噪声会更真实# TODO：生成 100 个 x 数据（建议使用 np.linspace）
x = np.linspace(0,10,100)# TODO：生成 y 数据（y = 3x + 1 + 噪声）
y =3*x+1 + np.random.normal(0,1,100)# ================================
# 2. 初始化参数
# ================================
# TODO：初始化 w 和 b（随机数即可，例如 0）
w = 0.0
b = 0.0learning_rate = 0.01
epoch = 200loss_history = []# ================================
# 3. 定义预测函数
# ================================
def predict(x, w, b):# TODO：返回 wx + breturn w*x+bpass# ================================
# 4. 定义损失函数（MSE）
# ================================
def compute_loss(y_pred, y_true):# TODO：写出均方误差 MSEreturn np.mean((y_pred-y_true)**2)pass# ================================
# 5. 手写计算梯度
# ================================
def compute_gradients(x, y_true, y_pred):# TODO：#  ∂L/∂w = (2/n) * sum( x * (y_pred - y_true) )#  ∂L/∂b = (2/n) * sum( y_pred - y_true )n=x.shape[0]dw=(2/n)*sum(x*(y_pred - y_true))db=(2/n)*sum((y_pred - y_true))return dw, dbpass# ================================
# 6. 梯度下降循环
# ================================
for i in range(epoch):# TODO：预测y_pred = predict(x, w, b)# TODO：计算损失loss = compute_loss(y_pred, y)loss_history.append(loss)# TODO：计算梯度dw, db = compute_gradients(x, y, y_pred)# TODO：更新参数w = w-learning_rate*dwb = b-learning_rate*db# 每 20 次打印一次当前参数if i % 20 == 0:print(f"Epoch {i}: loss={loss:.4f}, w={w:.4f}, b={b:.4f}")# ================================
# 7. 绘制损失下降曲线
# ================================
plt.plot(loss_history)
plt.xlabel("Epoch")
plt.ylabel("Loss")
plt.title("Loss Curve")
plt.show()print("Final w =", w)
print("Final b =", b)