第一章 函数与极限 8.函数的连续性与间断点

函数的连续性与间断点

函数与数列之间的一个显著差异就是，数列一定是离散的，因为数列只能在正整数处取值，而函数可以是连续的。那么怎么理解连续呢？其实就是当自变量微小变动时，函数的值不会激增。接下来我们正要去用数学语言来描述这一点。

函数的连续性

设函数在点 $x_0$ 的某一邻域内有定义，当 $x$ 在定义域内从 $x_0$ 变为 $x_0+\Delta x$，函数值 $f(x)$ 随即从 $f(x_0)$ 变为 $f(x_0+\Delta x)$，记 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。当 $\Delta x\to 0$ 时，$\Delta y\to 0$。

其中 $\Delta x$ 表示 $x$ 的增量，可以理解为 $x$ 的变化量，因为可以变小也可以变大，所以增量并不只表示增加。上面的定理简单地说就是当自变量的增量为无穷小时，对应函数值的增量也是无穷小。

即 ${\lim }_{\Delta x\to 0}\Delta y=0$，即 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$。

那么描述一个函数是否连续，一般需要加限制条件，如在某处连续，在某个区间内连续

函数在某处连续的 $\epsilon -\delta$ 定义

如果 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，那么首先 $f(x)$ 必须在 $x_0$ 处有定义，然后 $f(x)$ 必须在 $x_0$ 的某个邻域内有定义，对于任意正数 $\epsilon$ 都能找到一个正数 $\delta$ 使得 $|x-x_0|<\delta$ 时必然有 $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$。

这意味着，在 $x_0$ 处连续，就必须保证 $f(x)$ 在至少一个邻域内全部有定义，且满足 $\epsilon -\delta$ 定义，而在至少一个邻域内全部有定义并不代表 $f(x)$ 在邻域内是连续的。

函数在区间内连续的 $\epsilon -\delta$ 定义

如果 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 处连续，等价于 $f(x)$ 必须在 $(a,b)$ 内的每一点连续，此时可以用函数在某处连续的定义。

那么对于端点来说，端点 $a$ 需要连续吗？

因为对于任意无限接近 $a$ 且在 $a$ 右边的点 $x_0$，$f(x)$ 能找到一个关于 $x_0$ 的且不包含 $a$ 的邻域，且这个邻域是连续的，所以 $x_0$ 连续与 $a$ 无关。

所以 $a$ 是否有定义就不重要了，重要的是 $a$ 的右去心邻域必须要存在，又因为这个右去心邻域内的点都是连续的，所以 $a$ 的右极限必然存在。对 $b$ 也同理。

结论就是，如果函数在开区间 $(a,b)$ 内连续，$a,b$ 可以没有定义。

如果 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 处连续，对于边界而言，可能函数在 $a$ 的左邻域内没有定义，所以我们就不能用在某处连续的定义来证明，所以可以用最原始的定义，即 $a$ 必须满足在当 $x$ 在定义域内从 $a$ 变成 $a+\Delta x$ 时，$f(x)$ 从 $f(a)$ 变成 $f(a+\Delta x)$，且 ${\lim }_{\Delta x\to 0}\Delta y=0$。

因为 $f(x)$ 已经在 $(a,b)$ 连续，所以对于 ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)$ 极限存在，又因为在 $a$ 处有定义，所以 ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=f(a)$。

所以 ${\lim }_{\Delta x\to 0}f(a+\Delta x)=f(a)$。

所以如果 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 处连续，首先要满足 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 处连续，还要加上 $f(a)={\lim }_{x\to a^{+}}f(x)$，即 $a$ 的函数值等于 $x\to a^{+}$ 时的极限，对 $b$ 同理。

函数的间断点

间断点是这样一种点，设间断点为 $x_0$，$f(x)$ 在 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义，但在 $x_0$ 处没有定义，那么此时间断点就有两种可能：

1. $f(x)$ 在 $x_0$ 处有极限。
2. $f(x)$ 在 $x_0$ 处没有极限。

对于第一种情况，在 $x_0$ 处没定义，但是在 $x_0$ 处有极限，说明左右极限存在且相等，这样的点好像被直接删去了一个定义一样，所以叫可去间断点。

对于第二种情况，在 $x_0$ 处没定义，但是在 $x_0$ 处也没极限，那么又可以分为

1. 在 $x_0$ 处无限振荡，不趋于任何数，所以没有极限，因为不满足 $\epsilon -\delta$ 定义，且左极限与右极限都不存在。这样的点被称为 振荡间断点。
2. 在 $x_0$ 处趋于无穷，所以没有极限，因为不满足 $\epsilon -\delta$ 定义，这样的点被称为 无穷间断点。
3. 在 $x_0$ 处存在左极限与右极限，但左极限和右极限不相等，说明之间存在一个高度差，这样的点被称为 跳跃间断点。

我们说如果一个间断点存在左右极限，那么是 第一类间断点，有跳跃间断点和可去间断点，如果一个间断点不同时存在左右极限，那么这个间断点是 第二类间断点，如振荡间断点和无穷间断点。